Задание 10. В этом задании требуется решить системы дифференциальных уравнений.

В этом задании требуется решить системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим пример решения системы дифференциальных уравнений методом исключения.

Продифференцируем по t первое уравнение системы:

.

Получим систему:

Выразим из второго уравнения у и подставим его в третье уравнение системы, имеем

Подставим из третьего уравнения в первое . Получим линейное однородное уравнение второго порядка

Составим и решим характеристическое уравнение

k ²+6 k +13=0

D=-16

k ₁=-3-2 i, k ₂=-3+2 i.

Значит, х(t)= с ₁ e ^{-3 t} cos 2 t +4 с ₂ e ^{-3 t}sin 2 t= e ^{-3 t} (с ₁ cos 2 t + с ₂ sin 2 t).

Функцию y(t) найдем из условия . Предварительно найдем производную функции x(t).

=-3 e ^{-3 t} (с ₁ cos 2 t + с ₂ sin 2 t)+ e ^{-3 t} (-2 с ₁ sin 2 t +2 с ₂ cos 2 t)=

= e ^{-3 t} ((-3 с ₁+2 с ₂) cos 2 t +(-3 с ₂-2 с ₁) sin 2 t).

Значит, у(t)=e ^{-3 t} ((-3 с ₁+2 с ₂) cos 2 t +(-3 с ₂-2 с ₁) sin 2 t)+

+ 4 e ^{-3 t} (с ₁ cos 2 t + с ₂ sin 2 t) = e ^{-3 t} ((с ₁+2 с ₂) cos 2 t +(с ₂-2 с ₁) sin 2 t).

Таким образом,

общее решение системы дифференциальных уравнений.

Найдем решение системы, удовлетворяющее условию

Имеем:

Следовательно,

решение системы дифферен-циальных уравнений, удовлетворяющее заданному условию.