Соответствующая весовая функция

обеспечивает a_б =-44 дБ.

Если сложить спектр W32(w) со спектром прямоугольной весовой функции, то суммарный спектр

.

Определяя обратное преобразование Фурье , полу­чаем новую весовую функцию в виде

.

Варьируя значением действительного коэффициента с, можно управлять уровнем боковых лепестков в пределах a_б =-(50¸ 80) дБ и шириной главного лепестка.

Производным от рассмотренной функции W ₃₃(t) является целое семейство весовых функций вида

.

Можно выделить четвертый тип весовых функций, которые фи­нитны во временной области и обеспечивают максимальную кон­центрацию энергии в главном лепестке спектра [52] (табл. 3.4). Такими свойствами обладают функции с двойной ортогональностью, удовлетворяющие интегральному преобразованию Фурье [58—60]

,

где |w|< W₁ и | t |£ T /2, a W₁ и T /2—границы частотного и времен­ного интервалов, в которых определена заданная функция. Вводя нормированные переменные h=w/W₁ и z ^’=2 t / T, получаем более компактное соотношение

,

причем обе переменные h и z' принимают значения [—1, l]. Собст­венные значения l _k(r) функции Y _k (h, r) зависят от единственно­го параметра r =W₁ T /2. В качестве весовых следует выбирать функции Y _k (h, r) четного порядка и Y₀(h, r). При этом функции Y _k (h, r) выражаются через функции вытянутого сфероида.

Весьма близкими к оптимальным функциям Y _k (h, r) в энерге­тическом смысле являются весовые функции Кайзера, семейство которых описывается уравнением [23]

,

где J ₀—модифицированная функция Бесселя первого рода и ну­левого порядка.

Изменяя параметр r =w_a T /2, можно управлять величиной энер­гии в главном лепестке и уровнем боковых лепестков спектра функции

.

При параметре 1£ w _aT /2£ 8боковые лепестки результирующей АЧХ ВШП изменяются от a_б =-24 дБ до a_б =-82 дБ, а ширина основного лепестка спектра W_k (w) составляет и изменяется в пределах 1, 05p£ Dw_в T £ 2, 74p.

К функциям с двойной ортогональностью относится и более про­стая весовая функция Гаусса

и ее модификации w ₄₇(t)- w ₅₃(t), обеспечивающие расчетный уро­вень a_б =-(28¸ 140) дБ (табл. 3.4).

Вид некоторых весовых функций с двойной ортогональностью показан на рис. 3.5.

Из результатов расчетов, представленных в табл. 3.1—3.4, вы­текают следующие закономерности:

уровень боковых лепестков a_б и пульсации d _a результирующей передаточной функции ВШП практически не зависит от длитель­ности его импульсной характеристики и определяется только ви­дом весовой функции;

переходная полоса Dw _s и коэффициент прямоугольности K _п уменьшаются с увеличением числа лепестков CS импульсной ха­рактеристики ВШП (рис. 3.6, а), а полоса пропускания Dw ₃ рас­ширяется;

с увеличением параметра r для большинства весовых функций происходит уменьшение уровней d a и a_б (рис. 3.7), а также уве­личение K _п (рис. 3.6, 6) и уменьшение перекрытия электродов ВШП в крайних лепестках;

для большинства функций наибольшее подавление боковых лепестков наблюдается при уменьшении перекрытия электродов, т. е. при усилении взвешивания;

ширина основного лепестка результирующей передаточной функ­ции по любому уровню —3, —40, —60 дБ и т. д. обратно пропор­циональна числу электродов в одном лепестке функции аподизации. Этот результат особенно важен, так как на его основе можно легко определить требуемое число электродов для любой заданной полосы пропускания ВШП, не прибегая к сложным аналитическим вычислениям результирующего спектра, а используя приведенные результаты расчетов в табл. 3.1—3.4 и графики на рис. 3.5, 3.6. Функции первого типа обеспечивают уровень лепестков около a _б=-40 дБ, но дают чрезвычайно плохую прямоугольность. Модифицированные функции первого типа, наоборот, позволяют по­лучить К _п=1, 3¸ 1, 5, но не обеспечивают a _б=-30 дБ. Поэтому весовые функции первого типа для использования в фильтрах ПАВ мало пригодны.

Рис. 3.6. Зависимость коэффициента Рис. 3.7. Зависимость АЧХ от пара-прямоугольности К п (40/3 дБ) от метра r весовой функции: CS импульсной характеристики (а) а- пульсации d _а в полосе пропускания;

и от параметра r весовой функции (б) б — уровень ад боковых лепестков

Из функций второго типа наилучшие характеристики ВШП а _б=—(55¸ 90) дБ и (К _п(60/3)=1, 47¸ 1, 92) обеспечивают весовые функции Дольфа-Чебышева [52, 57] w ₁₆(t)- w ₂₀(t) при пара­метре r =2¸ 4, позволяющем получить расчетные значения a _б=—(55¸ 94) дБ и К _п(60/3)=1, 47¸ 1, 97. Увеличение параметра до r =5¸ 6 вызывает значительное уменьшение перекрытия электро­дов в крайних лепестках, приводящее к дифракционным искаже­ниям.

Поскольку весовые функции w ₁₆(t)- w ₂₀(t) имеют трудно реа­лизуемые выбросы на краях интервалов своего изменения, то для ВШП, в которых взвешивание осуществляется только за счет из­менения перекрытия электродов, предпочтительнее использование функции Тейлора и их модификаций w ₂₁(t)- w ₂₅(t), являющихся дальнейшим развитием функций Дольфа-Чебышева и обеспечи­вающих а _б=—(55¸ 80) дБ и К _п(60/3)=1, 61¸ 1, 75.

Большинство весовых функций третьего типа гарантируют рас­четный уровень a _б=—(50¸ 55) дБ, что не всегда достаточно для фильтров ПАВ, так как наличие эффектов второго порядка (ди­фракции, объемных волн и т. д.) ухудшает этот уровень на 8— 15 дБ. Кроме того, при использовании весовых функций этого ти­па при незначительном изменении весов составляющих спектров из-за технологических ошибок в перекрытии электродов происхо­дит существенное искажение результирующей передаточной функ­ции ВШП и ухудшение уровня лепестков на 15—20 дБ. Поэтому из всей массы функций третьего типа рекомендуется использовать w ₃₃(t), w ₃₄(t), w ₄₃(t).

Наиболее близки к оптимальным функции четвертого типа. Функции Кайзера [23] обеспечивают а _б=—(53—80) дБ и К _п(60/3)=1, 51—1, 72 при r =5¸ 8. Примерно те же значения дают функции Гаусса [52, 57] w ₄₇(t)- w ₅₀(t) при r =3¸ 4. Поскольку указанные результаты получаются при наибольших перекрытиях электродов по сравнению с другими типами весовых функций, ис­пользование функций Кайзера и Гаусса предпочтительнее.

Можно было бы указать еще массу известных функций или по­пытаться синтезировать новые, но особых преимуществ перед пе­речисленными они не имели бы, поскольку в каждом из четырех типов рассмотренные функции близки к оптимальным.