Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свободные колебания.Диф-е ур-ие колебаний,его решение.Формула Томсона.Графики зависимости q,U,I от времени.
|
|
Если положение системы в любое время может быть описано единственным параметром, то система имеет одну степень свободы. Этим параметром может быть, например, отрезок прямой, отсчитываемый от некоторой линии или угол, отсчитываемый от какой-то плоскости. Будем считать, что в положении устойчивого равновесия (х=0) потенциальная энергия U=U(x) системы минимальна U(0)=0. В случае малых колебаний, разложив функцию U(x) в ряд по степеням x, ограничимся первыми тремя членами формулы Маклорена: 
, т.к. в точке минимума 
, а U'' должна быть > 0, то 
. Введя обозначение U'(0)=k (k> 0) получаем формулу для потенциальной энергии 
. Зная вид функции U(x) можно найти величину силы, действующей на систему 
. Силы вида 
называются квазиупругими независимо от их природы. Эта сила (знак «-») всегда направлена к положению равновесия и
называется возвращающей силой. Рассмотрим в качестве примера колебательную систему с одной степенью свободы пружинный маятник.
В смещенном положении 
действительно носит характер квазиупругой силы.
Если шарик сместить из положения равновесия на x=a и дать ему свободу, то под действием квазиупругой силы F шарик будет двигаться со скоростью 
. Потенциальная энергия при 
будет убывать, а кинетическая энергия должна возрастать (закон сохранения энергии). Массой пружины пренебрегаем. Пройдя положение равновесия 
движение станет замедляться и при x= - a шарик остановится 
. При отсутствии трения получим собственные колебания системы. Основное уравнение динамики поступательного движения записывается в данном случае 
, обозначив
имеем
.
Это дифференциальное уравнение описывает собственные колебания системы в отсутствие сил трения. Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид: 
, где 
-амплитуда колебания, 
- циклическая (круговая) частота, 
- начальная фаза колебания.
Итак, движение системы, находящейся под действием силы вида F=-kx, является гармоническим колебанием.
Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления R. Для удобства сравнения с колебаниями пружинного маятника условимся считать (+) I, заряжающий емкость C.
Закон Ома для участка цепи с 
: 
; 
, поскольку IR=0 (т.к.R=0)
Введя обозначение 
, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре.
Из теории дифференциальных уравнений известно, решением полученного диф. ур - я является уравнение вида
, где 
- собственная частота контура. Итак, поскольку циклическая частота и период колебаний взаимосвязаны 
, можно получить формулу для периода собственных электрических колебаний в LC –контуре, получившей название формулы Томсона.
Изменение напряжения на конденсаторе 
также осуществляется по гармоническому закону
Изменение тока в цепи также оказывается гармоническим колебанием. Действительно,
Итак, 
. Индексом m в формулах обозначены амплитудные (т.е., максимальные) значения заряда, напряжения и тока.
Видим, что при q и U достигающих максимальных значений ток становится равным нулю I=0 и наоборот. Это соотношение было нами уже установлено, исходя из энергетических соображений.
14Затухающие колебания.Диф-е ур-ие, его решение.График q=q(t).Логарифмический декремент затухания.Добротность контура.
В любой реальной колебательной системе есть силы, препятствующие свободным колебаниям. При этом часть энергии системы безвозвратно теряется и колебания постепенно затухают. Следовательно, реальные свободные колебания всегда являются затухающими. В общем случае для механических колебаний сила сопротивления может быть записана как 
, где r – коэффициент сопротивления, а знак «-» обозначает, что 
противоположны по направлению. Тогда основное уравнение динамики для материальной точки запишется как 
и, введя обозначение 
, получим дифференциальное уравнение, описывающее затухающие механические колебания материальной точки:
Его решение: 
.
Периодичность нарушается 
; 
.
- коэффициент затухания, 
- собственная (циклическая) частота, А – амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону А = 
|
|