Переменный ток.Реактивные сопротивления.Закон Ома для цепи переменного тока.Эффективные значения тока и напряжения.

Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника

Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:

или ,

где u – мгновенное значение напряжения, Um – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω, то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае

, где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.

Реакти́ вное сопротивле́ ние — электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии переменным током электрическому или магнитному полю (и обратно).

Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса:

, где — импеданс, — величина активного сопротивления, — величина реактивного сопротивления, — мнимая единица.

В зависимости от знака величины какого-либо элемента электрической цепи говорят о трёх случаях:

— элемент проявляет свойства индуктивности.

— элемент имеет чисто активное сопротивление.

— элемент проявляет ёмкостные свойства.

Величина реактивного сопротивления может быть выражена через величины индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

Если ток является синусоидальным с циклической частотой, а цепь содержит не только активные, но и реактивные компоненты (ёмкости, индуктивности), то закон Ома обобщается; величины, входящие в него, становятся комплексными:

где:

U = U0e^{iω t} — напряжение или разность потенциалов,

I — сила тока,

Z = Re^{− iδ} — комплексное сопротивление (импеданс),

R = (R_a² + R_r²)1/2 — полное сопротивление,

R_r = ω L − 1/(ω C) — реактивное сопротивление (разность индуктивного и емкостного),

R_а — активное (омическое) сопротивление, не зависящее от частоты,

δ = − arctg (Rr/Ra) — сдвиг фаз между напряжением и силой тока.

При этом переход от комплексных переменных в значениях тока и напряжения к действительным (измеряемым) значениям может быть произведён взятием действительной или мнимой части (но во всех элементах цепи одной и той же!) комплексных значений этих величин. Соответственно, обратный переход строится для, к примеру, подбором такой что Тогда все значения токов и напряжений в схеме надо считать как

Если ток изменяется во времени, но не является синусоидальным (и даже периодическим), то его можно представить как сумму синусоидальных Фурье-компонент. Для линейных цепей можно считать компоненты фурье-разложения тока действующими независимо.

Также необходимо отметить, что закон Ома является лишь простейшим приближением для описания зависимости тока от разности потенциалов и от сопротивления и для некоторых структур справедлив лишь в узком диапазоне значений. Для описания более сложных (нелинейных) систем, когда зависимостью сопротивления от силы тока нельзя пренебречь, принято обсуждать вольт-амперную характеристику. Отклонения от закона Ома наблюдаются также в случаях, когда скорость изменения электрического поля настолько велика, что нельзя пренебрегать инерционностью носителей заряда.

1Свет-электромагнитная волна.Сферическая, плоская волна.Показатель преломления.Полное внутреннее отражение.

Свет — электромагнитное излучение, испускаемое нагретым или находящимся в возбуждённом состоянии веществом, воспринимаемое человеческим глазом. Нередко, под светом понимают не только видимый свет, но и примыкающие к нему широкие области спектра. Исторически появился термин «невидимый свет» — ультрафиолетовый свет, инфракрасный свет, радиоволны. Длины волн видимого света лежат в диапазоне от 380 до 740 нанометров, что соответствует частотам от 790 до 405 терагерц, соответственно

СФЕРИЧЕСКАЯ ВОЛНА - волна, радиально расходящаяся от нек-рой точки (источника) или сходящаяся к ней (к стоку) и имеющая сферич. волновые фронты (поверхности равных фаз). Простейшим примером является сферически симметричная скалярная волна вида

расходящаяся от центр. точки r = 0 (знак " -") или сходящаяся к ней (знак " +") со скоростью с. Такая волна удовлетворяет волновому уравнению и описывает многие физ. процессы в линейных средах без дисперсии и без потерь. Суперпозиция сходящейся и расходящейся волн (в частности, стоячая С. в.) также является решением волнового ур-ния.Ф-ция f в общем случае произвольна; важный частный случай - гармоническая С. в.: f=A expi(wt + kr); в такой волне А/r - амплитуда, а wt + kr = Ф - фаза (w - круговая частота, k - волновое число).

Если величина u(r, t)описывает физ. поле (напр., возмущение давления в звуковой волне, скалярный потенциал в эл--магн. волне и др.), то плотность потока энергии поля, уносимой от источника или приносимой к нему, пропорц. |u(r, t)|2, и, следовательно, общий поток энергии через сферу любого радиуса r, пропорц. 4pr2|и|2, сохраняется неизменным. Это является следствием закона сохранения энергии.При наличии поглощения в среде энергия С. в. убывает в направлении её распространения. Для гармонии. С. в. поглощение может быть учтено заменой k на k' + k'', где k'' - мнимая часть волнового числа. Это означает, что амплитуда волны затухает по экспоненте:

Существуют и несимметричные С. в., амплитуды к-рых зависят от полярной q и азимутальной j угл. координат, но фазовые фронты по-прежнему остаются сферическими:

где U(r, t)отвечает симметричной С. в., напр. в форме (1) или (2), a D(q, j) описывает угл. зависимость поля (эту ф-цию можно представить в виде суперпозиции т. н. сферич. гармоник). В однородных изотропных средах волновое поле на больших расстояниях от центра почти всегда имеет вид (3). Подбором D можно концентрировать поле около заданных направлений, поэтому ф-ция D(q, j) наз. диаграммой направленности излучения источника (см. Антенна).

ПЛОСКАЯ ВОЛНА - волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

где А - амплитуда, - фаза, - круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) = const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда фазовая скорость vф и групповая скорость vгр одинаковы и постоянны (vгр = vф = v) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ikм, где kм - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающая всё бесконечное пространство, является идеализацией, однако любое волновое поле, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волна может no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределение амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участки сферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Показа́ тель преломле́ ния вещества — величина, равная отношению фазовых скоростей света (электромагнитных волн) в вакууме и в данной среде . Также о показателе преломления говорят для любых других волн, например, звуковых. Показатель преломления зависит от свойств вещества и длины волны излучения, для некоторых веществ показатель преломления достаточно сильно меняется при изменении частоты электромагнитных волн от низких частот до оптических и далее, а также может ещё более резко меняться в определённых областях частотной шкалы. По умолчанию обычно имеется в виду оптический диапазон или диапазон, определяемый контекстом.

Полное внутреннее отражение — внутреннее отражение, при условии, что угол падения превосходит некоторый критический угол. При этом падающая волна отражается полностью, и значение коэффициента отражения превосходит его самые большие значения для полированных поверхностей. Коэффициент отражения при полном внутреннем отражении не зависит от длины волны.

В оптике это явление наблюдается для широкого спектра электромагнитного излучения, включая рентгеновский диапазон.

В геометрической оптике явление объясняется в рамках закона Снелла. Учитывая, что угол преломления не может превышать 90°, получаем, что при угле падения, синус которого больше отношения меньшего коэффициента преломления к большему коэффициенту, электромагнитная волна должна полностью отражаться в первую среду.

2Интерференция света.Опыт Юнга.Ширина полос интерференции.

Интерференция волн — это явление усиления или ослабления колебаний, которое происходит в результате сложения двух или не­скольких волн с одинаковыми периодами, распространяющихся в про­странстве, и зависит от соотношения между фазами складывающихся колебаний.Необходимым условием интерференции является их когерент­ность, т. е. равенство их частот и постоянная во времени разность фаз. Этому условию удовлетворяют только монохроматические свето­вые волны, т.е. волны с одинаковой частотой. При соблюдении данных усло­вий можно наблюдать интер­ференцию не только световых волн, но и звуковых, радиоволн и т. д.

1. Метод Юнга. Источником света слу­жит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S ₁ и S ₂, па­раллельные щели S. Таким образом, щели S ₁ и S ₂, играют роль ко­герентных источни­ков. Интерференционная картина (об­ласть R ₂ Q ₁) наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии параллельно S ₁ и S ₂ (рис. 2–1 а).

Проведем расчет интерференционной картины от источников S ₁ и S ₂ (рис. 2–1, б). Уравнение излучаемой источниками волн имеет вид

,

где x – смещение, А – амплитуда колебаний, wt – фаза.

Пусть до точки В, где наблюдается интерференционная картина, одна волна прошла путь l ₁ в среде с показателем преломления n ₁, вторая волна – путь l ₂ в среде с показателем преломления n ₂. Если в начальный момент времени в месте расположения щелей фаза колебаний равна wt, то в точке В первая волна возбудит колеба­ние , а вторая волна возбудит колебание , где u ₁= с / n ₁ и u ₂= с / n ₂ — соответственно фазо­вая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний d = j₂ – j₁, возбуждаемых волнами в точке, равна

, (2.1)

где l ₀ – длина волны в вакууме.

В соотношении (2.1) мы учли, что .

Произ­ведение геометрической длины пути световой во­лны l в данной среде на показатель пре­ломления n этой среды называется оптиче­ской длиной пути, a — раз­ность оптических длин проходимых во­лнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме (целому числу волн)

, (2.2)

то и колебания, возбуждаемые в точке В обеими волнами, про­исходят в одинаковой фазе и будет наблюдаться интерферен­ционный максимум.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн в вакууме

, (2.3)

то и колебания, возбуждаемые в точке В обеими волнами, бу­дут про­исходить в противофазе и будет наблюдаться интерферен­ционный минимум.

Пусть интерференция наблюдается в произвольной точке В экрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоя­нии L, причем . Среда, в которой распространяется свет, однородная. Показатель пре­ломления этой среды n =1. Интенсивность в точке В определяется оптической разностью хода . Из рисунка следует, что , следовательно .

Согласно условию , поэтому и .

Подставив это значение в условия максимума и минимума (2.2 и 2.3), получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться в случае, если

, (2-4)

а минимумы — в случае, если

. (2-5)

Ширина интерференционной полосы — расстояние между двумя сосед­ними максимумами (или минимумами)

.Согласно (2-4) и (2-5), интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку О₁. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются соответственно максимумы (минимумы) первого (m = 1), второго (m = 2) порядков и т.д. Описанная картина справедлива только при освещении монохроматическим светом. В случае белого света интерференционная картина будет иметь вид радужных полос.

3Интерференция в тонких пленках.Просветление оптики.

На про­зрачную плоскопараллельную пленку с показателем преломле­ния n и толщиной h под углом a (рис. 2-5) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рас­смотрим только два луча из падающего пучка – 1 и 2). На поверхности пленки в точке A луч 1 разде­лится на два: частично отразится от верх­ней поверхности пленки, а частично пре­ломится. Преломленный луч, дойдя до точ­ки B, частично

преломится в воздух (абсолютный показатель преломления n0=1), а частично отразится и пойдет к точке С. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности отраженного луча не будем рассматривать) и преломится, выходя в воздух под углом . Этот луч в точке С встретится с отраженным в этой же точке лучом 2. Если оптическая разность хода этих лучей будет мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны, то эти лучи будут когерентными. Если на их пути поставить собирающую линзу то они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную картину, которая будет определяться оптической разностью хода между интерферирующими лучами. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблю-даться не только в отраженном, но и в проходящем свете.

Просветле́ ние о́ птики — это нанесение на поверхность линз, граничащих с воздухом, тончайшей плёнки или нескольких плёнок одна поверх другой. Это необходимо для увеличения светопропускания оптической системы.

4Полосы равной толщины.Кольца Ньютона в отраженном и проходящем свете.Применение интерференции.

Рассмотрим пленку переменной толщины, например клинообразную. В отраженном свете поверхность такой пленки уже не будет равномерно освещенной, так как разность хода лучей, интерферирующих в различных (по толщине) местах пленки, будет неодинаковой. Разность хода сохраняется неизменной только вдоль линий, параллельных ребру клина, и убывает в направлении от осно-вания к ребру (рис. 2–6, а).

В результате интерференции будут наблюдаться чередующиеся светлые и темные полосы, параллельными ребру клина (рис. 2–6, б). Чем больше угол клина , тем быстрее изменяется разность хода лучей вдоль клина и тем гуще будут расположены интерференционные полосы. При использовании белого света интерференционные полосы расширяются, приобретая радужную окраску. Каждая из полос возникает за счет отражения от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одина-ковой толщины, называются полосами равной толщины.

Если толщина пленки изменяется произвольно, то полосы интерференции могут иметь разнообразную криволинейную форму. При освещении такой пленки белым светом возникает весьма причудливая по форме и расцветке интерференционная картина. Такую картину дают мыльные пленки, нефтяные пятна на поверхности воды, крылья мелких насекомых, жировые налеты на стекле и другие тонкие пленки толщиной порядка 10–6 м. В более толстых пленках цветные интерференционные полосы оказываются настолько сближенными, что частично перекрывают друг друга и интерференционная картина будет неразличимой. Поэтому интерференция света в толстых пленках можно наблюдать лишь при использовании строго монохроматического света.

Кольца Ньютона, являющиеся классическим примером полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис. 2–7). Параллельный пучок света падает нормально на поверхность линзы и частично отражается (в точке Е) от верхней и нижней (в точке F) поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном падении света имеющие вид концентрических окружностей, а при наклонном падении — эллипсов.

Заметим, что система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.

5Дифракция света.Принцип Гюйгенса-Френеля.Прохождение света сквозь малые отверстия(метод зон Френеля).

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи любых неоднородностей (препятствий) от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д.

Различают два вида дифракции:

1. Дифракция в сходящихся лучах (дифракция Френеля), когда на препятствие падает сферическая (или плоская) волна, а дифракционная картина, изображающая препятствие, наблюдается на экране, находящемся за ним на конечном расстоянии от препятствия.

2. Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера), когда на препятствие падает плоская волна, а дифракционное изображение источника света наблюдается на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего за препятствие света.

Принцип Гюйгенса решает задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света.

МЕТОД ЗОН ФРЕНЕЛЯ

Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и в равной мере применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам. Этот недостаток восполнил Френель, который вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции волн. Благодаря этому огибающая поверхность элементарных волн, введенная Гюйгенсом чисто формально, приобрела ясное физическое содержание как поверхность, где благодаря взаимной интерференции элементарных волн результирующая волна имеет заметную интенсивность.

Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S

Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из источника S. Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на l /2, т. е. Р₁М- Р₀М=Р₂М- Р₁М=Р₃М- Р₂М=...= l /2.

Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами b + l /2, b +2 l /2, b +3 l /2, ….

Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l /2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

A = А ₁- А ₂+ А ₃- А ₄+..., (3.1)

где А ₁, А ₂,... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,... зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Пусть внешняя гра­ница m -й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h _m (рис. 3-3). Если площадь этого сег­мента s _m, то площадь m -й зоны Френеля равна D s _m = s _m - s _m-1, где s _m-1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (m -1)-й зоны. Из рисунка следует, что

(3-2)

Учитывая, что l < < а и l < < b, получим

6Дифракция на круглом отверстии.Дифракция на круглом диске.

1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259).

Рис. 259

Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус - четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А =А1, т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (см. § 177). Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если т нечетное - то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то Am ≪ A1 и результирующая амплитуда A = A1/2, т. е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

2. Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем иа экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 260).

Рис. 260

В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает т первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

или

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол jт (см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

7Дифракция Фраунгофера на одной щели.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а (рис. 261, а). Оптическая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

(179.1)

где F- основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND.

Рис. 261

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2, т. е. всего на ширине щели уместится D: l/2 зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом; следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Из выражения (179.1) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла j. От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное, то

(179.2)

и в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота), если же число зон Френеля нечетное, то (179.3)

и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в направлении j = 0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В0 наблюдается центральный дифракционный максимум.

Из условий (179.2) и (179.3) можно найти направления на точки экрана, в которых амплитуда (а следовательно, и интенсивность) равна нулю (sinjmin = ± ml/a) или максимальна sinjmin = ± (2m + 1) l/(2a).Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный спектр), приведено на рис. 261, б. Расчеты показывают, что интенсивности в центральном и последующих максимумах относятся как 1: 0, 047: 0, 017: 0, 0083:..., т. е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель шире (а > l), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При а ≫ l в центре получается резкое изображение источника света, т. е. имеет место прямолинейное распространение света.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны l, поэтому рассмотренная выше дифракционная картина имеет место лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых m различно для разных l. Таким образом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

8Дифракционная решетка.Разложение света в спектр с помощью диф-решетки.

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность Фронт световой волны разбивается штрихами решётки на отдельные пучки когерентного света. Эти пучки претерпевают дифракцию на штрихах и интерферируют друг с другом. Так как для разных длин волн максимумы интерференции оказываются под разными углами (определяемыми разностью хода интерферирующих лучей), то белый свет раскладывается в спектр.

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d.

Если известно число штрихов (), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: мм.

Условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид:

где

дэ— период решётки,

альфа — угол максимума данного цвета,

ка — порядок максимума, то есть порядковый номер максимума, отсчитанный от центра картинки,

лямда — длина волны.

Если же свет падает на решётку под углом , то:

Если на дифракционную решетку падает белый свет, то на экране можно видеть разложение света в спектр - дифракционную картину. Дифракционная картина является результатом интерференции: в те области, где наблюдается максимум интерференции (цветные оласти), свет от разных щелей (щели разделяют световую волну на несколько волн, которые являются когерентными) приходит в одной фазе.

Для определения положения дифракционных максимумов, образуемых волнами с разной длиной пользуются формулой связи периода дифракционной решетки, направлением на данный максимум и длиной волны

9характеристики дифракционных решеток.Критерий Рэлея разрешения двух линий.Дифракция рентгеновских лучей(ф-ла Вульфа-Брэггов).

Одной из характеристик дифракционной решётки является угловая дисперсия. Предположим, что максимум какого-либо порядка наблюдается под углом φ для длины волны λ и под углом φ +Δ φ — для длины волны λ +Δ λ. Угловой дисперсией решётки называется отношение D=Δ φ /Δ λ. Выражение для D можно получить если продифференцировать формулу дифракционной решётки

Таким образом, угловая дисперсия увеличивается с уменьшением периода решётки d и возрастанием порядка спектра k.

Дифракция на пространственной решетке.

Формула Вульфа — Брэггов

Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (3-13)). Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками, имеют постоянную порядка 10^-10 м и непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (l ~ 5 × 10 ^-7 м). Не­мецкий физик М. Лауэ (1879—1960) пришёл к выводу, что в качестве естествен­ных дифракционных решеток для рентге­новского излучения можно использовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах одного порядка с длиной волны l рентгеновского излучения (» 10 ^{- 12} ¸ 10 ^{- 8} м).

Советский физик Г.В. Вульф и английские физики Г. и Л. Брэгг (отец и сын) независимо друг от друга предложили простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решетки. Они предположили, что дифракция рентгеновских лучей является результатом их отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей отстоящих друг от друга на расстоянии d (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристаллической решетки). Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) падает под углом скольжения (угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интер-ферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей дифракционной решетки (рис. 3-6).

Дифракционные максимумы наблюдаются в тех направлениях, в которых все волны, отраженные атомными плоскостями, будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа — Брэггов

(m=1, 2, 3,...), (3-14)

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн , наблюдается дифракционный максимум. Если монохроматическое рентгеновское излучение падает на кристалл под углами скольжения отличными от дифракция не возникает.

Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух задач:

1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя и m, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. определить структуру вещества.

2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя и m, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.