Формула Симпсона. Разобьем интервал [a, b] на четное число частичных интервалов 2m, где 2m = (b – a)/h.

Разобьем интервал [ a, b ] на четное число частичных интервалов 2 m, где 2 m = (b – a)/ h.

Суммируя (17)

;

получим формулу Симпсона

Пример. Вычислить интеграл с помощью трех квадратурных формул и сравнить ответ с точным значением I = e – 1 = 1, 7182818.

Возьмем произвольно h = 0, 1. Тогда

=

= 0, 1(e ^{0, 05}+ e ^{0, 15}+ e ^{0, 25}+ e ^{0, 35}+ e ^{0, 45}+ e ^{0, 55}+ e ^{0, 65}+ e ^{0, 75}+ e ^{0, 85}+ e ^{0, 95}) = 1, 7176;

=

= 0, 05[ e ^{0, 0} +2(e ^{0, 1}+ e ^{0, 2}+ e ^{0, 3}+ e ^{0, 4}+ e ^{0, 5}+ e ^{0, 6}+ e ^{0, 7}+ e ^{0, 8}+ e ^{0, 9}) + e ¹] = 1, 7197;

=

= 0, 1/3× [ e ^{0, 0} +4(e ^{0, 1}+ e ^{0, 3}+ e ^{0, 5}+ e ^{0, 7}+ e ^{0, 9}) +2(e ^{0, 2}+ e ^{0, 4}+ e ^{0, 6}+ e ^{0, 8}) + e ¹] = 1, 7182828.

Точное значение I позволяет определить точки x для формул соответствующих погрешностям R в (20), (21), (22).

x = 0, 365;

x = 0, 532;

x = 0, 588.

Следовательно, для каждой квадратурной формулы следует выбирать свое x с точки зрения оценки точности, что связано с очевидными расчетными трудностями. Утверждение, что повышение точности вычисления интеграла напрямую связано с уменьшением шага h также не совсем верно.

Из практики известно, что, начиная с некоторого (n ₀) погрешность вычислений снова начинает увеличиваться по причине округлений малых величин, т.е.

В общем случае погрешность интегрирования может быть представлена в виде:

,

где D q_i – абсолютная погрешность весов, Dx _i – абсолютная погрешность узлов, R – погрешность квадратурной формулы.

В связи с вышеизложенным, при вычислении интеграла для выбранной формулы численного интегрирования по заданной точности e, выбор шага h производится из следующих соображений:

(23)

Соотношение (23) означает, что шаг h, а, следовательно, и число точек n, в которых вычисляется f (x), определяется значением x с наихудшим поведением f (x) с точки зрения погрешности R.

Однако такое правило разбиения интервала интегрирования может приводить к избыточным вычислениям, если f (x) имеет только частные интервалы с ее «плохим» поведением относительно длины отрезка [ a, b ].

Для примера рассмотрим подынтегральную функцию типа: f (x) = e ^{– x /s} на отрезке [0, 1] с шагом h = . Очевидно, что шаг очень мал согласно (23) для обеспечения заданной точности для всего отрезка [0, 1], т.е. возникает потребность для устранения избыточных вычислений разбивать интервал [ a, b ] на частичные интервалы различной длины, которая определяется свойствами f (x) и заданной точностью интегрирования.

Таким образом, возникает задача применения простейших квадратурных формул интегрирования с переменным шагом интегрирования на отрезке [ a, b ]. Данная ситуация будет рассмотрена ниже.