Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей

Пусть требуется вычислить интеграл с точностью e. Тогда, используя формулу для R, выбирают шаг так, чтобы

| R | < e/2.

Учитывается также число знаков после запятой, чтобы погрешность округления не превышала e/2.

Пример. С помощью формулы Симпсона вычислить с точностью e = 10^–3.

Решение. Выберем шаг h.

; x Î [ a, b ], т.е. x Î [p/4, p/2];

Согласно соотношений (23), получим

< 0, 5× 10^–3.

Вычислим f ^IV (x)

. (24)

Оценим | f ^IV | на отрезке [p/4, p/2]. Воспользуемся величинами из (24) и . Они положительные и убывают, следовательно, их максимальное значение в точке x = p/4.

При этом + < 81. Таким образом, < 0, 5× 10^–3; h ⁴ < 14× 10^–4; h £ 0, 19.

С другой стороны для данного метода h выбирается с учетом того, чтобы [p/4, p/2] делился на четное число отрезков. Этим двум требованиям отвечает h =p/24 = 0, 13 < 0, 19, при котором n = = 6. Тогда, чтобы погрешность округления не превысила 0, 5× 10^–3 достаточно вычисления выполнить с 4 знаками после запятой.

Составим таблицу , с h = p/24 = 7° 30´ = 0, 1309

Для n = 6 по формуле Симпсона

.