Тема: Отделение корней. Метод проб.

Задание 1. отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0, 01. х -x -2x +3x-3=0

Решение: Полагаем, что f(x)= х -x -2x +3x-3. Определим f(x), а затем найдем корни уравнения.

F(x) = х -x -2x +3x-3=0

4x(x -1)-3(x -1) =0

(x -1)(4x-3)=0

1) (x -1)=0 2) (4x-3)=0

x = 1 x =3/4

x = -1

x = 1

Составим таблицу знаков функции f(x) (табл.3.1):

Таблица 3.1

Таблица знаков функции

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: x € [-∞; -1]; x € [1; +∞ ]

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Определение промежутков, содержащих корни уравнения

x	-2	-1
Знак функции f(x)	+	-	-	+
	a	b	-	+

Следовательно, x € [-2; -1]; x € [1; 2].

Уточним один из корней, например на промежутке [-2; -1], методом проб до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

· если в столбце f(x ) отрицательное число, то полученное число x =… заносится в столбец, где a или b отрицательны;

· если в столбце f(x ) положительное число, то полученное число x =… заносится в столбец, где a или b положительны.

Знак a и b определяется из таблицы 3.2 знаков функции. В нашем случае a имеет знак “+”, т.е. a , а b имеет знак “-‘, т.е. b ).

Таблица 3.3

Таблица решения уравнения

N	a	b	X =	f(x )	|a -b |
	-2	-1	-1, 5	-3, 5625
	-2	-1, 5	-1, 750	0, 3633	0, 5
	-1, 750	-1, 5	-1, 625	-1, 8923	0, 25
	-1, 750	-1, 625	-1, 688	-0, 8432	0, 125
	-1, 750	-1, 688	-1, 719	-0, 2555	0, 062
	-1, 750	-1, 719	-1, 735	0, 0488	0, 031
	-1, 735	-1, 719	-1, 727	-0, 0998	0, 016
	-1, 735	-1, 727	-1, 731	-0, 0208	0, 008

Вычисляем до тех пор, пока |a -b |≤ 0.01

Ответ: х≈ -1, 73 (взяли меньшее)

Реализация этого метода в MS Exсel осуществляется следующим образом (Рис. 3.1)

Здесь вычисляемыми являются столбцы Н (т.е. х = ). I(т.е. f(х )), J(т.е. |a -b |)

H9=(F9+G9)/2 и аналогично для остальных a и b .

I9=H9^4- H9^3-2* H9^2+3* H9-3 и аналогично для остальных х

J9=ABC(F9-G9) и аналогично для остальных a и b .

Затем в зависимости от того является ли f(x ) положительным или торицательным числом, записываем x в a или в b

Рисунок 3.1

Задания для самоконтроля. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0, 01.

Вариант 1.

1. 2x -9x -60x+1=0;

2. 3x +8x +6x -10=0;

3. 3x -8x -18x +2=0.

Вариант 2.

1. 2x +8x +8x -1=0;

2. x +4x -8x -17=0;

3. 3x +4x -12x +1=0.

Лабораторная работа №4.

Тема: Отделение корней. Метод хорд.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0, 001.

x -0, 2x +0, 5x+1, 5=0

Решение: Полагаем, что f(x)= x -0, 2x +0, 5x+1, 5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения.

f’(x)=3x -0, 4x+0, 5=0

D=b -4ac=0, 16-4*3*0, 5=0, 16-6= -5, 84

D< 0, следовательно непосредственно корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f(x)=0. Возьмем любую точку, например, x=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1; 0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f’(x)=6х-0, 4; в промежутке [-1; 0] выполняется неравенство f”(x)< 0. Подставляем интервал [-1; 0] в функцию f”(x) и f(x) и находим при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

F”(-1)< 0 f”(0)< 0

f(-1)< 0 f(0)< 0

т.е. при х = -1 знаки f”(x) и f(x) совпадают

Следовательно, а = -1 – неподвижная точка

х = 0 – подвижная точка

Для вычислений применяем формулу

х = а - *(x -a)

Все вычисления располагаем в таблице:

N	x	x
	x =0	-0, 882
	x = -0, 882	-0, 943
	x = -0, 943	-0, 946
	x = -0, 946	-0, 946

a=-1; f(-1)=-1+0, 2-0, 5+1, 5= -0, 2

x =0; f(0)=0-0+0+1, 5=1, 5

x =0

х =а - *(x -a)= -1- *(0-(-1))= -1- *(0+1) = -0, 882

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0, 882-(-1)) = -1- * 0, 118= -0, 943

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0, 943-(-1)) = -1- * 0, 057 = -0, 946

х =а - *(x -a)= -1 - * (-0, 946-(-1)) = -1- * 0, 054 = -0, 946

|x -x | = |-0, 946-(-0, 946)| = 0 ≤ 0, 001

Вычисляем до тех пор, пока |x -x | ≤ 0, 001

F(-0, 882)=(-0, 882) +0, 2*(-0, 882) +0, 5*(-0, 882)+1, 5=-0, 686-0, 156-0, 441+1, 5=0, 217

F(-0, 943)=(-0, 943) +0, 2*(-0, 943) +0, 5*(-0, 943)+1, 5=-0, 839-0, 178-0, 472+1, 5=0, 011

F(-0, 946)=(-0, 946) +0, 2*(-0, 946) +0, 5*(-0, 946)+1, 5=-0, 847-0, 179-0, 473+1, 5=0, 001

Ответ: x≈ -0, 946

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0, 001

1. х -3х +6х+3=0;

2. х +0, 2х +0, 5х-2=0;

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel