Формула трапеций. Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда

Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда

, (6.16)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени

(6.17)

Подставляя формулу (6.17) в правую часть (6.16), интегрируя и используя теорему о среднем значении интеграла, получим

(6.18)

В силу (6.10) получаем

(6.19)

Приближенное равенство

(6.20)

называется формулой трапеций. Величина

(6.21)

является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде

. (6.22)

Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна

. (6.23)

Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (6.13) и (6.21) имеют противоположные знаки, формулы (6.12) и (6.20) дают двустороннее приближение для интеграла (6.1), т.е.

В таком случае можно принять, что

, (6.24)

тогда

, (6.25)

т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.