Численные методы решения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида

,

которое кроме независимых переменных и неизвестных функций от них содержит еще и производные неизвестных функций или их дифференциалы. Наивысший порядок входящих в уравнение производных неизвестных функций называется порядком дифференциального уравнения. Если искомые функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Задачи решения дифференциальных уравнений возникают при математическом моделировании многих реальных явлений. При этом, как правило, точное решение не удается выразить через элементарные функции. Доля задач, решаемых в явном виде, ничтожна мала. Поэтому возникает необходимость применять приближенные методы решения дифференциальных уравнений. В зависимости от того, ищется ли приближенное решение в аналитическом виде или в виде таблицы чисел, приближенные методы делятся соответственно на аналитические и численные. Например, при доказательстве существования решения дифференциального уравнения

(7.1)

с начальным условием

(7.2)

-задачи Коши – используют метод последовательных приближений Пикара. При этом точное решение получается как предел последовательности

где

Эта последовательность равномерно сходится к решению y (х) задачи (7.1) и (7.2) на отрезке , , если выполнены следующие условия:

1. Функция f(x, y) непрерывна в области

.

2. Функция f(x, y) удовлетворяет в R условию Липшица по y:

,

где L – постоянная, не зависящая от ;

Точки – произвольные точки области R.

Погрешность приближенного решения в любой точке оценивается следующей формулой:

.

Наиболее распространенным численным методом решения задачи Коши является метод Рунге-Кутта.