Разделение переменных.

Рассмотрим в качестве примера решение 1-мерного волнового уравнения в однородной среде. Далее f(x, t) - искомая функция, которая может иметь различный физический смысл, v - скорость волны.

> pde1: =diff(f(x, t), x, x)-1/v^2*diff(f(x, t), t, t)=0;

Будем искать решение pde1 в виде произведения.

> subs(f(x, t)=X(x)*T(t), pde1): simplify(%): pde2: =expand((%)/X(x)/T(t));

Разнеся члены равенства в разные части, и учтя независимость переменных х и t, можем порознь приравнять обе части равенства к одной и той же константе - k^2 (далее введём обозначение w = k*v). Получим 2 ОДУ.

> ode1: =diff(X(x), `$`(x, 2))=-k^2*X(x); diff(T(t), `$`(t, 2))=-k^2*v^2*T(t): ode2: =subs(k^2=w^2/v^2, %);

Для их решения используем алгоритмы п. 17, выбрав НУ.

> dsolve({ode1, X(0)=A1, D(X)(0)=0}, X(x)); X1: =A1*cos(k*x):

> dsolve({ode2, T(0)=0, D(T)(0)=B2*w}, T(t)); T1: =B2*sin(w*t):

Итак, решение исходного ДУЧП в виде произведения есть:

> fxt: =X1*T1: combine(%); f: =subs(A1=2*C/B2, %);

Оператор combine представил решение суперпозицией волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Константы A1 и B2 входят в решение одной комбинацией, и могут быть выражены одной новой константой С. Смысл константы k выясняется из условия периодичности решения с длиной волны L.

> X2: =A1*cos(k*(x+L)): eq1: =X2/A1=X1/A1; eq2: =k*(x+L)=k*x+2*Pi; K=solve(eq2, k);

Вообще имеем набор K = 2*Pi*n/L (n - целое) и соответствующих частот (см. параметр AllSolution, п.п. 9 и 10).

>