Конвертирование рядов и аппроксимация функций полиномами.

Разложения, приведённые в 16.2, не являются вполне определёнными выражениями, т. к. содержат неизвестный остаточный член. Для сходящихся рядов этот член пренебрежимо мал и м. б. отброшен, когда взято достаточное число первых членов ряда. Иногда этот член препятствует дальнейшему использованию разложения. Для избавления от остаточного члена применяется оператор convert (см. 4.6), позволяющий приближённо представить (аппроксимировать) ряд многочленом с требуемой точностью.

Примеры:

1. > S: =series(exp(a*x+b*x^2), x=1, 4); P: =convert(S, polynom);

> S1: =series(exp(x), x=0, 6); P1: =convert(S1, polynom): S2: =series(exp(-x), x=0, 6); P2: =convert(S2, polynom): CH: =(P1+P2)/2; SH: =(P1-P2)/2;

Аппроксимация полиномами гиперболических косинуса и синуса до 3-го приближения, (тогда как первоначальные разложения выполнены с точно- стью до 6-го члена). Порядок аппроксимации оказался меньше заказанного приближения в разложении. Другой пример:

> CH8: =taylor(cosh(x), x=0, 8);

Выше заказано разложение с точностью 8 членов, Maple вывел 4 (кроме остаточного), т. к. нечётные члены = 0.

Разложение не может быть вычислено.

> evalf(subs(x=1/4, CH8));

Error, invalid substitution in series

Maple отказывается вычислять, т. к. не знает остаточного члена. Для вычисления используем преобразование.

> P8: =convert(CH8, polynom); evalf(subs(x=1/4, P8));

Разложение не представляется графиком, а его конвертация представляется

> plot(CH8, x=-1..1);

Warning, unable to evaluate the function to numeric values in the region; see the plotting command's help page to ensure the calling sequence is correct. Plotting error, empty plot.

> plot(P8, x=-1..1, 0..1.6);

График 16.1. График полинома P8, полученного конвертированием ряда CH8.

Последовательные аппроксимации всё более высоких порядков дают функции всё более близкие к исходной, во всё более широком интервале. Но при достаточно больших значениях аргумента поведение любой аппроксимации может резко отличаться от поведения исходной функции. Пример:

> f: =x^2*exp(x^2); s1: =taylor(f, x=0, 2): s2: =taylor(f, x=0, 3); p2: =convert(%, polynom); s3: =taylor(f, x=0, 4): s4: =taylor(f, x=0, 5); p4: =convert(%, polynom); s5: =taylor(f, x=0, 6): s6: =taylor(f, x=0, 7); p6: =convert(%, polynom); s7: =taylor(f, x=0, 8): s8: =taylor(f, x=0, 9); p8: =convert(%, polynom); s9: =taylor(f, x=0, 10):

Выше не выведены на экран разложения нечётного порядка, которые повторяют предшествующие разложения чётного порядка, либо дают пренебрежимый остаточный член.

> plot([p2, p4, p6, p8, f], x=0..1.4, -1..1.5, style=[line, line, line, line, point], color=[black, red, blue, green, black]);

График 16.2. Видим, что, с повышением точности, графики аппроксимаций близки к графикам точной функции во всё более широком интервале. Но при достаточно больших значениях х любая аппроксимация резко расходится с точной функцией (пунктир).

>