Дифференцирование функций.

Дифференциал программа не понимает. Это условное понятие бесконечно малой величины, которую нельзя определить или вычислить. Символ дифференциала может быть записан в Т-строке. Можно записать его и в К-строке, но он будет означать лишь сочетание букв и никакие операции с ним, именно как с дифференциалом, невозможны.

1. Оператор дифференцирования - " diff" (полные и частные производные любого порядка). Функцию определяют оператором присвоения, либо вписывают прямо в команду (первое удобнее, когда ищется несколько производных, либо с функцией совершаются ещё какие-то действия). Этот оператор может быть и внутренним и внешним. Необходимо указать аргумент (аргументы), по которому производится дифференцирование (параметр команды). Если имеем функцию одной переменной, то производная - полная. Для функции нескольких переменных та же команда даёт частные производные. Возможна символическая запись производной неопределённой функции, но при этом надо указать зависимость функции от данного аргумента.

> diff(f(x, y, z), x);

Но

> diff(f(x, y, z), t);

Формат команды 1-й производной (от данной функции одной переменной):

> f1: =a*x^n*sin(x); f1d: =factor(diff(f1, x)); simplify(diff(f1^2+2/x, x));

Выше показано последовательное применение нескольких операторов, включая дифференцирование. Для функции нескольких переменных (частные производные, вообще не равные):

> f2: =a*x^n*sin(y); f2x: =diff(f2, x); f2y: =diff(f2, y);

Производные высших порядков. Порядок производной равен числу указанных в команде параметров (перечисляются через запятые).

> f1d3: =factor(diff(f1, x, x, x)): simplify(%);

Для производных высокой кратности удобно записать параметр команды через символ последовательности " $".

> f3: =exp(-a*x); f35: =diff(f3, x$5); f3n: =diff(f3, x$n);

Выведены производные 5-го порядка и произвольного порядка n.

Производные в точках разрыва или в особых точках функции могут быть бесконечны или неопределённы. В этом случае программа сообщает о некорректности операции, например:

> eval(subs(x=0, diff(exp(-1/x), x)));

Error, numeric exception: division by zero

Поэтому, при исследовании функции не лишне проверить её на сингуляр-ность (см. п. 8). В случаях разрываможно искать производную в пределах слева и справа от данной точки (см. п. 11.1).

Смешанные частные производные. Когда переменных две (и больше) имеем смешанные частные производные:

> f2xyy: =simplify(diff(f2, x, y, y)); f2xxy: =simplify(diff(f2, x, x, y));

2. Дифференциальный оператор D. В некоторых случаях для обозначения производной применяется оператор D (см. Help).

> D[i](f)(x, y, z); D[2](f)(x, y, z); convert(%, diff);

Этот оператор м. б. использован для вычисления производной в данной точке.

> D(f)(0); convert(%, diff);

3. Наиболее известно использование производных для исследования функций, для отыскания точек экстремума и перегиба. Пример: Пусть:

> y: = x^4 - 10*x^3 + 35*x^2 - 50*x + 24;

1-я и 2-я производные:

> yd1: =diff(y, x); yd2: =diff(y, x, x);

> plot([y, yd1, yd2], x=0..5, -5..4, color=[black, red, blue]);

График 12.1. Видно обращение в нуль 1-й производной в точках экстремума функции y, а 2-й производной - в точках экстремума 1-й производной.

>

13. 1-кратные интегралы (неопределённые и определённые).

Оператор интегрирования - " int" (может быть как внешним, так и внутренним оператором в составной команде). Интегрируемая функция определяется ранее оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду (первое удобнее, когда ищется несколько интегралов, либо с функцией совершаются ещё какие-то действия). Необходимо указать аргумент, по которому интегрируем (параметр команды). Все выражения, явно не содержащие этого аргумента, считаются постоянными.

>

13.1. Неопределённый интеграл.

Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):

> int(f(x), x);

Подинтегральная функция дана в общем виде, и ответ выведен также в общем виде. Символ дифференциала вставлен формально в выведенную формулу. Произвольная константа интегрирования на экран не выводится! х - переменная интегрирования (обязательный параметр). Примеры:

> int(x^n, x); int(x^2*exp(-x), x): phi: =collect(%, exp(-x)); f: =a*x^2/(1+b*x^2);

F: =factor(int(%, x));

Программа может затребовать дополнительные сведения о параметрах функции. Например, при нахождении 1-го интеграла программа может затребовать сведения о величине n, т. к. при n = -1 интеграл имеет другой вид! Тогда следует указать требуемое условие, (например: assume(n> 0)).

Графическая иллюстрация связи подинтегральной функции и её первообразной.

> phi: =x*exp(-x); psi: =int(%, x);

> plot([phi, psi], x=-1..5, style=[line, point]);

График 13.1. Сравните с графиками функции и её производной в п. 12. Первообразная имеет минимум, когда подинтегральная функция = 0.