Краткие сведения. Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница, если первообразная может быть найдена или не является слишком громоздкой:

Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница, если первообразная может быть найдена или не является слишком громоздкой:

В противном случае вычисляют приближенное значение интеграла по квадратурной формуле

,

содержащей параметров ( абсцисс , n коэффициентов и число узлов), которые нужно выбрать так, чтобы формула давала достаточно малую погрешность для широкого класса функций . Очевидно, чем больше , тем выше точность. Указанному требованию удовлетворяют квадратурные формулы Ньютона-Котеса и квадратурная формула Гаусса.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Формулы Ньютона-Котеса относятся к случаю равноотстоящих узлов интегрирования. Они получены как результат интерполяции подынтегральной функции полиномом Лагранжа и в общем случае имеют вид

где - коэффициенты Котеса.

Очевидно, коэффициенты Котеса не зависят от подынтегральной функции.

Для от 1 до 8 они имеют значения:

n=1: H₀ = H₁ = 0.5;

n=2: H₀ = H₂ = 0.1666667, H₁ = 0.6666667;

n=3: H₀ = H₃ = 0.125, H₁ = H₂ = 0.375;

n=4: H₀ = H₄ = 0.0777778, H₁ = H₃ = 0.3555556, H₂ = 0.1333333;

n=5: H₀ = H₅ = 0.0659722, H₁ = H₄ = 0.2604166, H₂ = H₃ = 0.1736111;

n=6: H₀ = H₆ = 0.0488095, H₁ = H₅ = 0.2571428, H₂ = H₄ = 0.0321428,

H₃ = 0.3238095;

n=7: H₀ = H₇ = 0.0434606, H₁ = H₆ = 0.2070023, H₂ = H₅ = 0.0765626,

H₃ = H₄ = 0.1729745;

n=8: H₀ = H₈ = 0.0348853, H₁ = H₇ = 0.2076895, H₂ = H₆ = -0.0327336,

H₃ = H₅ = 0.3702292, H₄ = -0.1601410.

Правильность вычисления коэффициентов Котеса можно проверить по их свойствам:

1) 2)

Поскольку интервал интегрирования может быть большим, то его делят на равных частей и к каждой из них применяют соответствующую формулу. Формула для всего интервала интегрирования становится составной. Обычно используют .

1. Формула трапеций (n=1)

где - шаг интегрирования;

2. Формула Симпсона (n=2)

где - шаг интегрирования;

3. Формула Ньютона (“трех восьмых”, n=3)

где - шаг интегрирования,

В этих формулах шаг интегрирования постоянный, и поэтому они эффективны в методах с автоматическим выбором шага интегрирования.

Процедура автоматического выбора шага интегрирования основана на двукратном вычислении интеграла на каждом шаге: вначале с (значение интеграла ), а затем - с (значение интеграла ). Если меньше заданной наперед ошибки, то считается, что интегрирование на данном шаге выполнено правильно. В противном случае делится пополам, и повторяется описанная выше процедура интегрирования.

Примечание. Способ повышения точности путем двойного пересчета называется правилом Рунге.

Квадратурная формула Гаусса

Для увеличения точности здесь взяты неравноотстоящие узлы , что оказалось возможным при интерполировании подынтегральной функции полиномом Лежандра:

где Ниже приведены абсциссы и коэффициенты формулы Гаусса для значений пределов интегрирования при которых формула Гаусса имеет вид

Абсциссы и коэффициенты формулы Гаусса

n=1: X₁ = 0.5; A₁ = 1.0;

n=2: X₁ = 0.2113249, X₂ = 0.7886751; A₁= A₂ = 0.5;

n=3: X₁ = 0.1127017, X₂ = 0.5, X₃ = 0.8872983;

A₁ = A₃ = 0.2777778, A₂ = 0.4444444;

n=4: X₁ = 0.0694318, X₂= 0.3300095, X₃ = 0.6699905, X₄ = 0.9305682;

A₁ = A₄ = 0.1739274, A₂ = A₃ = 0.3260726;

n=5: X₁ = 0.0469101, X₂ = 0.2307653, X₃ = 0.5, X₄ = 0.7692347,

X₅ = 0.9530899;

A₁ = A₅ = 0.1184634, A₂ = A₄ = 0.2393143, A₃ = 0.2844444;

n=6: X₁ = 0.0337652, X₂ = 0.1693953, X₃ = 0.3806904, X₄ = 0.6193096,

X₅ = 0.8306047, X₆ = 0.9662348;

A₁ = A₆ = 0.0856622, A₂ = A₅ = 0.1803808, A₃ = A₄ = 0.2339570;

n=7: X₁ = 0.0254460, X₂ = 0.1292344, X₃ = 0.2970774, X₄ = 0.5,

X₅ = 0.7029226, X₆ = 0.8707656, X₇ = 0.9745540;

A₁ = A₇ = 0.0647425, A₂ = A₆ = 0.1398527,

A₃ = A₅ = 0.1909150, A₄ = 0.2089796;

n=8: X₁ = 0.0198551, X₂ = 0.1016668, X₃ = 0.2372338, X₄ = 0.4082827,

X₅ = 0.5917173, X₆ = 0.7627662, X₇ = 0.8983332, X₈ = 0.9801449;

A₁ = A₈ = 0.0506143, A₂ = A₇ = 0.1111905,

A₃ = A₆ = 0.1568533, A₄ = A₅ = 0.1813419.

Если отрезок интегрирования разбить на равных частей и к каждой из них применить формулу Гаусса для фиксированного , то

где - шаг интегрирования;

- -я абсцисса -го шага интегрирования;

- абсциссы и коэффициенты формулы Гаусса.

При одинаковом числе ординат формула Гаусса дает большую точность, чем другие формулы, но она менее эффективна в методах с автоматическим выбором шага интегрирования.

Самой простой квадратурной формулой является формула прямоугольников (, , )

Если отрезок интегрирования большой и разбит на равных частей, то составная формула прямоугольников имеет вид

где ; ; ; .

На практике используются также модификации общей формулы: формула “левых” прямоугольников () и формула “правых” прямоугольников ().

Приведем две группы алгоритмов для выполнения заданий в лабораторной работе.

Рис.7.1 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции по формуле прямоугольников

от шага интегрирования

Рис.7.2 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции методом Гаусса

от шага интегрирования

Рис.7.3 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции по формуле трапеций

от шага интегрирования

Рис.7.4 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции по формуле Симпсона

от шага интегрирования

Рис.7.5 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции по формуле Ньютона

от шага интегрирования

Рис.7.6 – алгоритм получения зависимости фактической ошибки

интегрирования функции методом Ньютона-Котеса

от шага интегрирования

Рис.7.7 – адаптивный алгоритм получения зависимостей фактической ошибки и временных затрат при интегрировании функции по формуле прямоугольников от задаваемой ошибки

Рис.7.8 – адаптивный алгоритм получения зависимостей фактической ошибки и временных затрат при интегрировании функции

методом Гаусса от задаваемой ошибки

Рис.7.9 – адаптивный алгоритм получения зависимостей фактической ошибки и временных затрат при интегрировании функции

по формуле трапеций от задаваемой ошибки

Рис.7.10 – адаптивный алгоритм получения зависимостей фактической ошибки и временных затрат при интегрировании функции

методом Ньютона-Котеса от задаваемой ошибки

Алгоритмы для получения зависимости фактической ошибки вычисления интеграла от шага интегрирования

Эта группа алгоритмов представлена на рис.7.1…7.6. Алгоритмы на рис.7.1, 7.3, 7.4, 7.5 соответствуют частным случаям формул Гаусса и Ньютона-Котеса. Алгоритмы на рис.7.2, 7.6 построены по формулам Гаусса и Ньютона-Котеса в общем случае.

Исходными данными являются: подынтегральная и первообразная функции, пределы интегрирования (вводятся). В алгоритме использованы переменные: – точное значение интеграла, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница, - число шагов интегрирования, - шаг интегрирования, - приближенное значение интеграла. Как результат, выводятся фактическая ошибка вычисления интеграла и шаг интегрирования (или ).

Алгоритмы для получения зависимостей

фактической ошибки и временных затрат вычисления интеграла

от задаваемой ошибки интегрирования

Эти алгоритмы (рис.7.7…7.10) являются адаптивными, т.к. здесь шаг интегрирования автоматически устанавливается, начиная со значения , таким, чтобы выполнилось условие: - относительная ошибка интегрирования меньше заданной . Для изменения величины шага используется правило Рунге. Через обозначено предыдущее значение интеграла; в начале вычислений оно может принято равным любому числу, здесь – нулю. Затраты машинного времени в алгоритме оцениваются косвенно – по числу вызовов подынтегральной функции , для чего использована переменная .

Адаптивные алгоритмы для других частных случаев можно легко составить по аналогии с представленными алгоритмами.