Решение нелинейных уравнений

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a, b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

1. Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)> 0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x, x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.

1. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a, b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙ F(c)< 0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|> ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.

Пока |b-a|> ε
c=(a+b)/2 F(a)∙ F(c)< 0
да	нет
b=c	a=c

Рис. Структограмма для метода половинного деления

1. Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a, b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a, F(a)) и (b, F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙ F(c)< 0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.

Пока |F(c)|> ε
F(a)∙ F(c)< 0
да	нет
b=c	a=c

Рис. Структограмма для метода хорд

1. Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Затем в точке(x₀, F(x₀)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x₁. В точке (x₁, F(x₁)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x₂ и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(x_i)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x₀)∙ F''(x₀)> 0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

Пока |F(x)|> ε	Рис. Структограмма для метода касательных

1. Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(x_i) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.
2. Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁=f(x₀), второе - x₂=f(x₁) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле x_i+1 =f(x_i). Указанную процедуру повторяем пока |f(x_i)|> ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|< 1. Структограмма метода итераций показана на рис.