Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численное решение дифференциальных уравнений






 

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, у')=0 или у'=f(x, y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x, y).

  1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

    • вариант 1 (аналитический) у=f (x, y)

 

y1=y0+h*f(x0, y0) x1=x0+h Расчетные формулы для 1-го шага
yi+1=yi+h*f(xi, yi) xi+1=xi*h Расчетные формулы для i-го шага


    • вариант 2 (графический)
y1=y0+f(x0, y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi, yi)
k1=h*f(xi, yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h Аналогично варианту 1

 

Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

  1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

уi+1i+hf(xi+h/2, yi+hf(xi, yi)/2),

xi+1=xi+h.

  1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1i+(h/2)[f(xi, yi)+f(xi, +h, yi+hf(xi, yi))],

xi+1=xi+h.

  1. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

k1=hf(xi, yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),

xi+1=xi+h.

  1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1i+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi, yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

k4=hf(xi+h, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1, уi - значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

 

Таблица

N Этап программирования Выполнение
1. Постановка задачи Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1
2. Математическое описание
  1. Аналитическое решение.
dy/dx=x2 y=1+x3/3, yk=y(1)=1+1/3=4/3.
  1. Метод Эйлера.
  2. Модифицированный метод Эйлера 1.
  3. Модифицированный метод Эйлера 2.
  4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3. Разработка структограммы Выполнить самостоятельно
4. Написание программы Выполнить самостоятельно
5. Отладка и получение результатов Выполнить самостоятельно







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.