Записана в виде логарифма для удобства. Далее производим потенцирование, то есть переходим от логарифмических к показательным функциям. Получим

. Далее подставляем начальное условие . Таким образом, определяется константа интегрирования.

Рассмотрим сетку c шагом h. Из (10.17) по методу Эйлера следует разностное уравнений .

Его точное решение имеет вид . Так как h > 0, то это выражение растет.

Рассмотрим возмущенную задачу Коши (10.17):

, где ε – бесконечно малая величина. Тогда решение имеет вид .

Вычислим разность . Показательная функция растет быстро, и малая константа не может его ограничить. Таким образом, это решение неустойчивое. Более подробно вопросы устойчивости обсуждаются в следующих разделах.

Очень медленная сходимость при уменьшении h, которая характерна для методов первого порядка, служит препятствием для их использования. Значительная часть остального материала этого раздела посвящена изучению других методов, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью. В качестве примера построения одного из таких методов мы рассмотрим модифицированный метод Эйлера, определяемый формулой

y_к+1=y_к+h f(x_к+1, y_к+h f(x_k, y_k)). (10.18)

Обратите внимание на то, что функцию f(x_k, , y_k) в методе Эйлера y_k+1 = y_k+ h f (x_k, y_k) просто заменили на

f (x_k, y_k+h f (x_k, y_k)).

Метод Эйлера известен также как метод Рунге-Кутта второго порядка и имеет локальную ошибку дискретизации O(h²). Наиболее распространенным методом Рунге-Кутта является классический метод четвертого порядка, задаваемый формулой

(10.19)

Где

F₁=f(x_k, y_k), F₂=f(x_k + ),

.

Здесь f(x_k, y_k) в отличие от метода Эйлера заменено на взвешенное среднее значение f, вычисленное в четырех различных точках.

В следующем разделе будут рассмотрены методы, которые используют информацию, полученную не только на одном предыдущем шаге, а на многих (не только y _k, но и y _k-1, y _k-2 и т.д.). В настоящем разделе мы имеем дело с методами, зависящими только от y_k и не использующими никаких предыдущих значений. Такие методы называются одношаговыми и могут быть представлены в общем виде как

y_k+1 = y_k+h (x_k, y_k) (10.20)

с соответствующей функцией φ. В случае метода Эйлера функцией φ является сама f, в то время как для метода обобщающего модифицированный метод Эйлера функция φ имеет вид

φ (x, y)= [ f(x, y) + f(x+h, y+h f (x, y))]. (10.21)

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка (10.19) тоже является одношаговым, и соответствующая функция φ может быть записана в виде аналогичном (10.21).