Разделим переменные

. (12.6)

Разложим на простые дроби (такой способ вычисления интегралов Вам объясняли в курсе математического анализа)

(12.7)

и приведем к общему знаменателю 1 = A (y–2) + B y.

Необходимо, чтобы это выражение было тождественным. Тогда

A = – B, A = –1/2.

, (12.8)

где С - постоянная интегрирования, . Окончательно получим

. (12.9)

Из начального условия определяем константу С₁=0.

Рассмотрим возмущенную задачу (20.5):

y' = xy (y – 2), y(0) = 2+ ε, ε - бесконечно малое. Найдем новую константу С и решение

. (12.10)

Надо построить графики. Имеем 2 случая:

a) если ε < 0, то решение убывает и стремится к нулю;

б) если ε > 0, то в знаменателе имеется точка, в которой он обращается в нуль. Следовательно, решение стремится к бесконечности.

Теория устойчивости сложна и многообразна.

Теория разностных уравнений

Теория разностных уравнений имеет много параллелей с теорией дифференциальных уравнений. Мы кратко обрисуем основные элементы этой теории в случае линейных разностных уравнений порядка m с постоянными коэффициентами. Такие уравнения имеют форму

y_n+1 = a_m y_n +... + a₁ y_n-m+1 + a₀, n = m-1, m, m+1,..., (12.11)

где а_о, а₁,..., а_n – заданные постоянные.