Створення моделі

Концептуальна модель

Нехай у деякий момент часу в групу здорових людей потрапляють декілька хворих – носіїв iнфекцiї. Зрозумiло, що загальний кiлькiсний склад цiєї групи (здоровi + хворi) може змiнюватися в часi (приїзди й вiд’їзди, смертi й народження i таке iнше), і тоді тільки вивчення змін цього кiлькiсного складу становитиме самостiйну не дуже просту задачу. З метою спрощення приймемо ряд припущень.

Припущення 1. Під час епiдемiї, нiяких кiлькiсних змiн у групi не вiдбувається (немає нi смертей, нi народжень, нi iзоляцiї, нiхто з мешканців не прибуває й не вибуває). У межах не дуже великих груп і не занадто тривалих проміжків часу із цим можна погодитись.

Припущення 2. Воно стосується механiзму передавання iнфекцiї: здорова людина заражається сама і стає джерелом iнфекцiї у момент зустрiчi з хворим.

У такому разi ми нехтуємо тривалiстю латентного (прихованого) перiоду хвороби у порiвняннi з тривалiстю епiдемiї. Такi хвороби медицинi вiдомi. З вiдповiдних довiдникiв можна дiзнатися, що для грипу й холери цей перiод становить кiлька годин, а для дифтерiї, чуми, коклюшу – вiд двох дiб i бiльше.

Припущення 3. Один хворий може зустрiтися лише з одним здоровим (груповi зустрiчi не відбуваються).

Припущення 4. Серед заходiв боротьби із захворюванням обираємо найпростiший: в цьому напрямi нiчого не робиться. Такi дiї не є гуманними, проте ж йдеться всього лише про найпростішу модель, та й хвороба не така вже й небезпечна.

Математична модель

Весь час спостереження розіб’ємо на достатньо малі однакові проміжки (інтервали) Δ t (малі в порівнянні з тривалістю епідемії).

Уведемо позначення:

і – порядковий номер проміжку Δ t;

М_і, N_і – відповідно кiлькiсть хворих і здорових людей на початку цього проміжку часу.

На початку спостереження (і = 0) M_і = M ₀, N_і = N ₀.

Згідно з Припущенням 1 у довiльний момент часу

M_і + N_і = M ₀ + N ₀. (1)

Зауважимо тут, що M_і i N_і – величини змiннi, з плином часу вони монотонно змiнюються в протилежних напрямках: у мiру зростання M_і вiдбувається спадання N_і.

Припущення 5. Прирiст чисельностi хворих Δ M_і пропорцiйний тривалостi промiжку Δ t і кiлькостi зустрiчей здорових людей iз хворими за цей промiжок часу.

Припущення 6. Кiлькiсть зустрiчей пропорційна як кiлькості хворих (M_і), так i кiлькості здорових (N_і) людей на початок і -го промiжку Δ t. В такому разі кiлькiсть зустрiчей пропорцiйна добутковi M_і i N_і.

На основi Припущень 5 та 6 можна записати:

Δ M = k·M_і N_і Δ t, (2)

де 0 < k < 1 – коефiцiєнт пропорцiйностi, який назвемо коефiцiєнтом зараження. Цей коефiцiєнт має статистичний зміст і враховує, насамперед, такі фактори, як імовірність зустрічей і сприйнятливiсть окремої людини до хвороби.

Зазначимо, що рiзнi iндивiди в групi можуть проявляти рiзну сприйнятливiсть до хвороби, внаслiдок чого в мiру перебігу епiдемiї спочатку захворюватимуть найбільш сприйнятливi, а наприкiнцi залишатимуться найстійкіші. Одночасно зменшується ймовірність зустрічей. Це означає, що числове значення k може бути незмінним.

Припущення 7. Нехай коефiцiєнт зараження k є незмінним у часі.

З (1) маємо

N_і = M ₀ + N ₀ – M_і (3)

i пiсля пiдстановки (3) у (2) остаточно отримуємо:

Δ M_і = kM_{і- 1}(M ₀ + N ₀ – M _{і- 1})Δ t (4)

Знайдемо нову кiлькiсть хворих М_і, додаючи до її попереднього значення М_{і – 1} щойно обчислений приріст Δ M:

М_і = М_{і – 1} + Δ M_і (5)

Рiвняння (4) і (5) являють собою найпростішу математичну модель епiдемiї.

Якщо вони будуть розв’язані вiдносно M_і, то ми отримаємо можливiсть щодо прогнозування перебігу епiдемiї.

Про рівняння (4) говорять, що воно записане у формі скінчених різниць. У шкільнiй математицi не вивчаються аналiтичнi методи розв’язування рiвнянь такого виду. Тому для досягнення кiнцевої мети виконаємо розв’язування чисельним методом. Використовуючи в якості середовища для моделювання електронні таблиці, будемо виводити на екран результати у виглядi таблиць та вiдповiдних графiкiв залежностi змінних Δ M_і, M_і і N_і вiд часу.