Обчислювальний експеримент

1. Надайте параметрам моделі наступних значень:

N ₀ = 10000; M ₀ = 1; k = 0, 1; Δ t = 0, 1.

Це означає, що в початковий момент у групу з десяти тисяч здорових людей потрапляє один хворий.

1.1. Підготуйте потрібну електронну таблицю і заповніть 22 її рядки.

1.2. З отриманої таблицi видно, що вже на шостому кроцi перестає виконуватись умова стiйкостi рiзницевого рiвняння (4).

1.3. Для виправлення ситуацiї зменшимо промiжок Δ t на один порядок, тобто введемо Δ t = 0, 01. Тепер, схоже, все гаразд.

2. Розглядаючи декiлька останнiх рядків таблицi, бачимо, що через певний час хворими стають всi члени групи. Дiйсно, новi хворi не з’являються (Δ М = 0), а кiлькiсть хворих становить 10001 згiдно (1). За даною таблицею побудуємо графiки залежностi від часу кiлькостi хворих М = M (t), кiлькостi здорових N = N (t) і графік Δ М = Δ M (t).

3. Зменшимо промiжок Δ t ще вдвiчi: Δ t = 0, 005. Спостерiгаємо уповiльнення змiни Δ M i М. Таким чином, тепер для завершення розрахункiв ми вимушенi довести кiлькiсть повторень майже до 50. Проте iстотних якiсних змiн у вiдповiдних таблицях i графiках ми не виявляємо. То ж виходить, що останнє зменшення Δ t було необов’язковим. Тому залишимо Δ t = 0, 01.

4. Значеннями результатiв у стовпці Δ M є виключно додатнi числа. Це означає, що кiлькiсть хворих iз часом лише збiльшується, що видно зі стовпця М, а в описi моделi якраз i зазначається, що в напрямi боротьби з хворобою нiчого не робиться, отже нiхто й не одужує. Тут ми не встановили нiчого нового, але на цьому фактi побачили, що наша модель правильно відбиває заздалегiдь очiкуваний результат. Розробники моделей навiть спеціально вдаються до подiбних заходiв, вводячи такi вхiднi данi, за якими має відтворитись очiкуваний результат. Нагадаємо, що така робота (тестування моделi) має виконуватися завжди.

5. З’ясуємо тепер питання: як позначиться на часовi перебігу епiдемiї збiльшення вдвiчi початкової кiлькостi хворих, тобто при M ₀ = 2? Чи буде правильною відповідь, що така замiна приведе до помiтного скорочення цього часу? Тут ми маємо можливiсть перевiрити вiдповiдь на моделi, поклавши M ₀ = 2. Результат спростовує запропоновану вiдповiдь! Час поширення епiдемiї дiйсно скорочується, проте... скорочення це майже непомiтне – всього один рядок таблиці, один промiжок Δ t. Цей результат, взагалi кажучи, можна було б передбачити при уважному оглядi таблицi при М = 1: адже М = 2 з’являється тут саме в другому рядку.

6. Швидкiсть поширення епiдемiї Δ M/ Δ t можна оцінювати за значеннями приростів Δ M, оскільки всі проміжки Δ t однакові. I таблиця, i графiк Δ M = Δ M (t), що їй вiдповiдає, дають змогу побачити, що швидкiсть поширення епiдемiї не є сталою. Дійсно, якщо розглянути за таблицею стовпець Δ M, то видно, що ця швидкiсть змiнюється у складний спосiб: спочатку швидко зростає, а наприкiнцi спадає. З нього легко дiзнатися, на якому навiть тактi процесу вона сягає максимального значення. Але та наочнiсть, що її здатний забезпечити графiк, не йде нi в яке порiвняння з табличною: якщо одночасно вивести на екран графiки залежностi Δ M = Δ M (t), М = М (t) i N = N (t), то одержана з них iнформацiя матиме значно бiльш привабливий характер i буде зручнiшою для порiвняльного аналiзу.

Виконайте таку побудову й аналіз кожного з графіків.

Вправа

1. Як визначають значення коефiцiєнтів моделі, зокрема, k?

2. Якою є ознака того, що проміжок Δ t обраний занадто великим або занадто малим?

3. Якого змісту слід було б надати появі від’ємних значень у стовпчику Δ M?

4. Експериментально доведіть, що добуток двох обмежених змінних, які міняються в протилежних напрямках (в нашій моделі такими є змінні M i N), набуває максимуму, коли змінні набувають однакових значень. Скористайтесь отриманим результатом для коментування графіка залежності Δ M = Δ M (t).