Найпростіші моделі елементів механічних систем

При відносному переміщенні окремих елементів ме­ханічної системи на поверхні їх контакту виникають сили тертя, що перешкоджають цьому переміщенню. Для зменшення опору тертя до поверхні контакту підводять змащувальний матеріал. Тоді швидкість v ковзання однієї дета­лі відносно іншої в першому наближенні пропорційна прикладеній силі Р (рис. 8.6)

Рис. 8.6

тобто Р = , де — коефіцієнт в’яз­кого тертя, S — площа поверхні контакту. Якщо в цьому випадку для меха­нічної системи в якості потенційної величини вибрати силу Р, а якості потокової — швидкість v, то записану рівність можна розглядати як аналог формули (8.1) закону Ома

P = = , (8.10)

а величину R_M = k_тpS — як аналог електричного опору R. Оскільки основними одиницями виміру сили і швидкості є відповідно Н = (ньютон) і м/с, то величину вимірюють в , а коефіцієнт в'язкого тертя — в .

При обертанні, наприклад, цапфи 1 валу 2 відносно вкладиша 3 підшипники ковзання 4 (рис. 8.7) момент М, що обертає, прикладений до валу і вимірюваний в Н • м, можна вважати при в'язкому терті пропорційним кутової швидкості (одини­ця виміру рад/с).

Тоді замість (8.10) слід записати

M = = , (8.11)

де d і l — діаметр та довжина цапфи. У цьому випадку момент М буде потенційною величиною, кутова швидкість — потоковою, а величина , що вимірюється в Н • м • с — аналогом електричного

Рис. 5.7 опору R в (8.1).

При русі проти сил опору в'язкого тертя здійснюється робота. Потужність, потрібна для подолання в'язкого тертя при поступальній ході, рівна W_Tp = Pv = k_тpSv² = R_мv², а при обертальному — W_тp = =

= = .Ця потужність є аналогом потужності тепловиділення на резисторі (див. 8.1).

У технічних пристроях різного призначення механічний зв'язок між окремими деталями і агрегатами харак­теризують жорсткістю вузлів кріплення, під якою розуміють відношення сили, прикладеної до такого вузла, до переміщення точки додатка цій сили.

Найпростішою розрахунковою схемою в узла кріплення

деякої деталі 1 до нерухомої основи 2 є пружина 3 (рис. 8.8), один кінець якої приєднаний до цієї деталі, а інший — до основи. Жорсткістю пружини називають відношення,

с = Р/и, що вимірюється в Н/м = кг/с², де Р — сила, яка

прикладена до пружини в точці її кріплення до

Рис. 5.8деталі, а и — переміщення цієї точки у напрямку дії сили.

Зміна в часі t сили Р приведе до зміни пе­реміщення и. Якщо не враховувати сили інерції, що виникають при переміщенні витків пружини, і прийняти значення с по­стійним, то після диференціювання рівності и = Р/с за часом отримаємо

(8.12)

де v — швидкість переміщення точки прикладання сили Р. В цьому випадку величину С_м = 1/ с, вимірювану в м/Н і яка нази­вається податливості пружини, можна розглядати як аналог ємності З, що входить в співвідношення (8.3) для електричного конденсатора. При розтягуванні або стискуванні пружини вона нагромаджує потенційну енергію, рівну роботі сили Р, що здійснюється при переміщенні точки додатка цієї сили:

.

Ця енергія є аналогом енергії електричного поля в конденсаторі (див. 8.1). Оскільки v = du/dt, I = dQ_e/dt і швидкість v — аналог сили електричного струму , те переміщення и — аналог електричного заряду . ­

Залежність вигляду (8.12) характерна для багатьох елементів, матеріал яких при вантаженні зберігає властивість ліній­ної пружності. Так, наприклад, подовжню деформацію ліній­но пружного стержня з поперечним перетином площею S при розтягуванні силоміць Р можна вважати однаковою по всій довжині стержня (рис. 8.9) і рівною відповідно до закону Гуку.

, де механічне напруження в попереч­ному перетині стрижня, Е — модуль пружності матеріалу

Рис.5.9 стрижня при розтягу (модуль Юнга), які вимірюються в

паскалях (Па = Н/м²). При цьому торець стрижню, що сприймає дію сили, пе­реміститься відносно закріпленого торця на відстань і = l = Pl/(ES).

При порівняно повільній зміні в часі t сили Р, що дозволяє нехтувати силами інерції, отримаємо

, (8.13)

де величина = l/(ES) є аналогом ємності З в (8.3). З курсу опору матеріалів відомо, що по­перечна сила Р, яка прикладена до кінця

консольної пружної балки довжиною , що жорстко

закріплено іншим кінцем (рис. 8.10), викликає прогин w = P1³/(3EJ_x), де J_x — геометричний момент інерції поперечного перетину балки відносно головної

Рис. 8.10 центральної вісі цього перетину, яка перпендикулярна площині згину, в який лежить нейтральна вісь балки та діє сила Р. Так, J_x = для круглого перетину діаметру d і J_x = для прямокутного перетину шириною b і висотою h. При зміні в часі t сили Р приходимо до залежності, аналогічної (8.12) і (8.13):

, (8.14)

де = /(3EJ_x).

Рис. 8.11

Якщо один з кінців пружного стержня завдовжки з круг­лим поперечним перетином діаметру d жорстко закріплений, а до другого прикладений обертальний момент М_кр (рис. 8.11), то кут закручування стержня буде , де G — модуль зсуву матеріалу стержня

J_p = - полярний момент інерції перетину стержня. Диференціюванням за часом t знаходимо

, (8.15)

де . При закручуванні стержня в (8.15) потенційній величиною є обертовий момент М_кр, а потоковою — кутова швидкість повороту того кінця стержня, до якого прикладений цей момент.

Таким чином, при різному виконанні пружних еле­ментів механічної системи між швидкістю переміщення (або кутовою швидкістю) і швидкістю зміни прикладеної сили (або моменту, що крутить) справедлива залежність, ана­логічна співвідношенню (8.3) для електричного конденсатора. Співвідношення, аналогічне (8.4) для індуктивної котушки, в разі поступальної ходи тіла масою т з швидкістю v, що змінюється у часі, виходить безпосередньо з другого закону Ньютона у вигляді

, .(8.16)

Тут маса т тіла служить аналогом індуктивності L котуш­ки. При обертанні тіла відносно фіксованої осі із змінною кутовою швидкістю отримаємо

, (8.17)

де М — обертовий момент, відносно цієї осі. У (8.17) аналогом індуктивності є момент інерції J тіла відносно осі обертання. Кінетична енергія при поступа­льному русі рівна — К = mv²/ 2 = , а при

обертовому — К = J ²/ 2 = / 2. Величина К є аналогом енергії магнітного поля індуктивної котушки.

Кількість руху (імпульс) тіла масою , що має швидкість , рівне mv, а момент кількості руху (момент імпульсу) тіла, що обертається, — . Продовжуючи аналогію з індуктивною котушкою, приходимо до висновку, що аналогом імпульсу при поступальній ході тіла або моменту ім­пульсу при обертанні тіла буде потокозчеплення котушки індуктивністю L, через яку протікає електри­чний струм силоміць I.

Аналогію між математичними моделями (ММ) типо­вих елементів механічних систем і електричних двопо­люсників називають електромеханічною. Її зручно використовувати при побудові ММ складних механічних систем, що складаються з великого числа елементів, які взаємодіють між собою.

Подібні аналогії існують між електричними і тепловими, електричними і гідравлічними системами та ін. Ці питання достатньо повно викладено в [1].

Основна ідея застосування методу застосування методу аналогій (електромеханічних, електрогідравличних, електротеплових та ін.) поляеає у тому, що фізичні процеси, які відбуваються у перелічених системах описуються близькими математичними співвідношеннями. Виходячи з цього, дослідження, наприклад, механічної системи можна замінити розглядом еквівалентної електричної системи, що в багатьох випадках є більш зручнішим.

Контрольні питання

1. Що мається на увазі під електричним двополюсником?

2. Привести основні рівняння стани, що характеризують прості елементи ланцюга?

3. Записати основні співвідношення для змінних струму

напруга і потужності на ділянках ланцюга, що містять

активні опори, ємності і індуктивності.

4. Записати комплексні вистави для струмів і напруги в електричних двополюсниках.

5. Привести аналог закону Ома для механічної системи.

6. Записати диференціальне рівняння для зміни обертового

моменту в пружному стержні, який закріплений одним кінцем.