Принцип Банаха сжимающих отображений

Напомним определение §6 и теоремы, которые мы используем в этом параграфе.

Определение 9.1. Последовательность (x_n) метрическом пространства (Х, r)называется фундаментальной, если (" e> 0)($N ½ " n, m > N) Þ [ r (x_m, x_n) < e ].

Определение 9.2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Теорема 9.1. Пусть (Е, r_х) – подпространство метрического пространства

(Х, r_х). Если пространство (Х, r_х) полное и множество Е замкнуто в нем, то подпространство (Е, r_х) также является полным.

Определение 9.3. Пустьf - отображение метрического пространства (Х, r_х) в себя (f: Х Х). Точка Î Х называется неподвижной точкой отображения f, если f () = .

Определение 9.4. Отображение метрическом пространства Х в себя называется сжимающим, если существует число a (0 < a < 1)такое, что " х₁, х₂Î Х выполняется неравенство

r (f(x ₁), f (x ₂)) £ ar (x ₁, x ₂). (9.1)