Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Предел и непрерывность отображений метрических пространств




Под отображением метрических пространств будем понимать отображение множеств элементов рассматриваемых метрических пространств. В дальнейшем метрическое пространство и множество его элементов будем обозначать одной буквой X или Y, а метрику соответственно rX и rY.

Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y, т.е. f: с Х Y, точка АÎY, x0 – предельная точка D( f ) (D( f ) – область определения отображения f в пространстве Х ).

Определение 7.1 (по Гейне). Точка А называется пределом отображения f в точке х0, если для любой последовательности (xn), сходящейся к хo по метрике rх, с элементами, принадлежащими D( f ) и отличными от хо, соответствующая последовательность (f(xn))сходится к А по метрике ry.

Определение 7.2(по Коши). Точка А называется пределом отображения f в точке хо, если для любого положительного числа e существует положительное число d такое, что для всех точек х, принадлежащих D( f ) и удовлетворяющих условию 0<rx(x,xo)< d, выполняется неравенство rY(f(x),A)<e.

Если точка А является пределом отображения f в точке хо, то пишут

Сформулированные выше определения символично записывают следующим образом.

Определение 7.1*.

Û "(xn) |xn xo, xnÎD( f ), xn¹ xo Þ f(xn) A.

Определение 7.2*.

("e>0)( $d(e)>0)(" xÎD( f ) |0< rX(x,xo)<d) Þ [ rY(f(x),A)<e].

Примерыопределения 7.2 в различных метрических пространствах.

7.1. Пространство R2: X = R, Y = R; f: с R R.

Û ("e>0)($d(e)>0)("xÎD(f)ç0<rX(x,xo <d )Þ [rY(f(x),A)<e].

7.2. Пространство R3: X = R2, Y = R, f: с R2 R, x=(x1,x2), xo=(x1o,x2o),x®xo Û Û x1®x1o Ù x2 ®x2o.

Û ("e>0)($d(e)>0)("xÎD( f < d ) Þ [rY(f(x),A)<e].

Теорема 7.1.Определения 1 и 2 равносильны.

С доказательством можно ознакомиться в [1 ,стр.22-23].

Определение 7.3. Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство В (f: с Х Y), точка хоÎD( f ). Отображение f называется непрерывным в точке хо, если

("e>0)($d(e)>0)(" xÎD(f)| rX(x,xo)<d)) Þ [ rY(f(x), f(xо))<e].

Замечание 7.1.В этом определении не требуется, чтобы точка хо была предельной точкой D( f ). Она может быть как предельной, так и изолированной точкой.

Определение 7.3*. Если точка хо – предельная точка D( f ), то отображение f непрерывное в точке хо тогда и только тогда, когда

Если точка хо – изолированная точка D( f ), то отображение f всегда непрерывно в точке хо.



Определение 7.4. Отображение f: Х Y называется непрерывным на множестве Х, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Теорема 7.2.Отображение f: Х Y является непрерывным тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз каждого открытого (замкнутого) в В множества является множеством, открытым (замкнутым) в Х. Это значит, что если множество GÌY – открытое (замкнутое) множество, то множество f -1(G) – открытое (замкнутое) в Х.

С доказательством можно ознакомится в [1,cтр.24-25]

Определение 7.5. Отображение f: с Х Y называется равномерно непрерывнымна множестве ЕÌХ, если

("e>0)($d>0)(" x12ÎЕ | rX(x1,x2)<d) Þ [ rY(f(x1), f(x2))<e].

Замечание 7.2.Если отображение f: Х Y равномерно непрерывноена множестве ЕÌХ, то оно и непрерывное на Е. Обратное утверждение не имеет места.

Определение 7.6. Метрическое пространство Х называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых открытых (замкнутых) множеств.

Определение 7.7. Множество ЕÌХ называется связнымв метрическом пространства Х, если связным является подпространство Е метрического пространства Х.

Определение 7.7*. Множество ЕÌХ называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломаной, которая целиком лежит в этом множестве.

Примеры: 1) в пространства R связными являются интервал, отрезок, луч, множество {3};

2) в пространстве R2круг, кольцо;

3) множество Е = (0,1) È[3,4] Ì Rне является связным множеством.

Теорема 7.3.При непрерывном отображении образом связного множества является связное множество.



3от противного.

Пусть множество f(X) не является связным в метрическом пространстве Y. Тогда существуют два непустых, непересекающихся между собой, открытых множеств М и N таких, что f(X) = MÈN.

По теореме 2 в силу непрерывности отображения f прообразы множеств М и N ( f -1(M f -1(N) ) будут открытыми. Очевидно, что они будут также непустыми, непересекающимися между собой множествами, а их объединение есть множество Х. Итак, множество Х есть объединениедвух непустых, непересекающихся, открытых множеств, это противоречит связности множества Х. 4


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.019 сек.)Пожаловаться на материал