Расчет разветвленных цепей переменного тока символическим методом

Пример. Найти токи в схеме (рис. 3.15). Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками,

Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме: Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу А.

1. Проведем расчет цепи методом двух узлов Определим проводимости ветвей: Y ₁=1/ Z ₁=1/2=0, 5 См; Y ₂=1/ Z ₂=l/(– j 10)= j 0, 1 См; Y ₃=1/ Z ₃=1/(j 5)=– j 0, 2 Cm. Заземлим точку B. Составим уравнение для расчета межузлового напряжения:

Токи ветвей найдем по закону Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС:

2. Проведем расчет цепи методом контурных токов.

Собственные сопротивления контуров I и II:

Z ₁= R ₁– jX_{C 2}=2– j 10 Ом, Z ₂= j (X_L3 – X_{C 2})=– j 5 Ом.

Общее сопротивление контуров I и II: Z ₁₂= Z ₂₁=– jX_{C 2}=– j 10 Ом.

Составим систему уравнений:

İ ₁₁ Z ₁– İ ₂₂ Z ₁₂= Ė ₁

-İ ₁₁ Z ₁₂+ İ ₂₂ Z ₂=– Ė ₃

İ ₁₁(2– j 10)– İ ₂₂(– j 10)=120

– İ ₁₁(– j 10)+ İ ₂₂(– j 5)=–100 е ^–30°=–(86, 6– j 50)

Решая систему относительно тока İ ₁₁, получим:

Подставим полученное значение тока İ ₁₁ во второе уравнение системы:

j 10(8, 6+ j 7, 03) –j 5 İ ₂₂= – 86, 6+ j 50; j 5 İ ₂₂= – 16, 3 –j 36; İ ₂₂=7, 2 –j 3, 26=7, 9 e^{–j 24, 3°};

İ ₃= –İ ₂₂=7, 9 e^{j (180–24, 3°)}=7, 9 e^{j 155, 7°} (A);

İ ₂= İ ₂₂ –İ ₁₁=7, 2 –j 3, 26–8, 6– j 7, 03=–1, 4– j 10, 3 = 10, 4 e^{–j 98°} (A).

Оба способа решения задачи дают практически одинаковые результаты. Небольшие расхождения объясняются неточностью при вычислении значений тригонометрических функций при углах, близких к 0 или ±90°.