Комплексный чертеж плоскости

Плоскость считается заданной на чертеже, если:

-возможно построить проекции любой точки, принадлежащей плоскости;

-возможно определить, принадлежит ли данной плоскости заданная на чертеже точка.

В общем случае плоскость задается на чертеже проекциями своего определителя, под которым понимается совокупность элементов, однозначно задающих плоскость в пространстве (рис.22): три точки, не лежащие на одной прямой, прямая и точка вне прямой, две пересекающие прямые, две параллельные прямые, плоская фигура.

4.1.Положение плоскости относительно плоскостей проекций

4.1.1.Плоскость общего положения

Определение: плоскость, наклоненная ко всем плоскостям проекций (рис.23).

Признак: ни на одну из плоскостей проекций определитель плоскости не проецируется на прямую (см. рис.22).

Свойства чертежа: фигура в плоскости общего положения, углы наклона её к плоскостям проекций ни на одну плоскость проекций не проецируется в натуральную величину.

Восходящей называется плоскость, высота точек которой возрастает по мере удаления от наблюдателя, а нисходящей - плоскость, высота точек которой уменьшается по мере удаления от наблюдателя. Признак: у восходящей плоскости обход проекцийточек на обеих плоскостях проекций одинаковый (плоскости L и q на рис.22), у нисходящей – противоположный (плоскость S на рис.22). У восходящей плоскости видна на П₁ и П₂ одна и та же сторона, у нисходящей - разные стороны.

4.1.2. Проецирующая плоскость

Определение: плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций (рис.24).

Признак: проекция плоскости на перпендикулярную плоскость проекций – прямая (вырожденная проекция плоскости), наклоненная к осям проекций (S на рис.24, 25). На комплексном чертеже проецирующие плоскости задаются, как правило, своими вырожденными проекциями (см. рис.25).

Свойства чертежа: вырожденная проекция обладает собирательным свойством: проекция фигуры, расположенной в плоскости, в перпендикулярную плоскость проекций располагается на вырожденной проекции проецирующей плоскости. Углы наклона вырожденной проекции к осям проекций равны углам наклона плоскости к соответствующим плоскостям проекций.

В зависимости от плоскости проекций, к которой перпендикулярна плоскость, проецирующие плоскости называются горизонтально, фронтально или профильно проецирующими.

4.1.3.Плоскость уровня

Определение: плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций (рис.26).

Признак: проекция плоскости на перпендикулярную плоскость проекций – прямая (вырожденная проекция) Г₂, параллельная осям проекций (рис.27).

Свойства чертежа: фигура в плоскости уровня в параллельную плоскость проекций проецируется в натуральную величину.

4.2.Принадлежность прямой и точки плоскости

Прямая принадлежит плоскости:

а) если прямая проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

б) если прямая проходит через точку плоскости и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости.

Задача. Построить недостающую проекцию точки А, принадлежащей плоскости S (m n) (рис.28).

Алгоритм решения

1. Через известную горизонтальную А₁ проекцию точки А проводим проекцию произвольной пря-мой l так, чтобы она пересекала прямые m и n, за-дающие плоскость S: А₁ Î l₁

1₁ = l₁ m₁, 2₁ = l₁ n₁ , 1₂ Î m₂ , 2₂ Î n₂ .

3. Соединив 1₂ и 2₂ , получаем фронтальную l₂ проекцию прямой l, по принадлежности которой и находим фронтальную проекцию точки А: А₂ Î l ₂.

4.3.Прямые особого положении в плоскости

4.3.1.Прямая уровня плоскости

Определение: прямая, принадлежащая плоскости и параллельная какой-либо плоскости проекций.

Задача. В плоскости q (D АВС) провести произвольные горизонталь и фронталь (рис 29).

Алгоритм решения

1.Т.к. требуется построить произвольные горизонталь и фронталь, то для удобства построений проведем их соответственно через вершины С и А треугольника.

2. Сначала проводим те проекции прямых, направление которых известны – фронтальную проекцию горизонтали h₂ и горизонтальную фронтали f₁: C₂ Î h₂ X₁₂, А₁ Î f₁ X₁₂ .

3. Недостающие проекции прямых находим по принадлежности их плоскости треугольника АВС, а именно по двум точкам ей принадлежащим. Для этого находим точки 1 и 2 пересечения горизонтали и фронтали со сторонами АВ и ВС соответственно и соединяем их с одноименными проекциями А и С.

В проецирующей плоскости пря-мая уровня, параллельная неперпендику-лярной плоскости проекций – прое-цирующая прямая (рис.30).

4.3.2.Прямая наибольшего наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций

Определение: прямая, лежащая в плоскости, и перпендикулярная соответствующей линии уровня плоскости.

Признак: в плоскость проекций, параллельную линии уровня, прямой угол между линией наибольшего на-клона и линией уровня проецируется в натуральную величину.

Прямая наибольшего наклона используется для определения вели-чины двугранного угла между плос-костью общего положения и какой-либо плоскостью проекций: двугран-ный угол измеряется линейным углом между линией наибольшего наклона плоскости и ее проекцией на соответствующую плоскость проекций.

На рис.31 показана прямая наибольшего наклона m плоскости å к горизонтальной плоскости проекций (линия ската), проведенная перпендикулярно горизонтали h. При этом m₁ ^ h ₁. Угол a между линией ската m и её проекцией m₁ и есть угол между плоскостями å и П_{1 .}

Задача. Определить углы наклона плоскости S (f h) к плоскостям проекций П₁ и П₂ (рис.32).

Алгоритм решения

1.Определение угланаклона å к П_{1 .}

1.1.Проводим произволь-ную линию ската m: сначала её горизонтальную проекцию m₁ ^ h₁, а затем, по двум то-чкам 1 и 2 пересечения линии ската с горизонталью и фрон-талью плоскости, её фронта-льную проекцию 1₂ m₂ 2₂. 1.2. Строим прямоугольный треугольник для определения натуральной величины отрезка (12): в качестве первого катета берём горизонтальную проекцию отрезка (1₁2₁), а в качестве второго – разность высот Dh точек 1 и 2. Угол между натуральной величиной (2₁1₀) отрезка и его проекцией (1₁2₁) и есть искомый угол a наклона плоскости å к П₁