Определение схемных функций методом эквивалентных схем на основе координатных уравнений для ветвей (КВ-уравнений) в полном координатном базисе (ПКБ).

При формировании математической модели в полном координатном базисе распределение взаимно определенных ребер осуществляется произвольно. Примем распределение ребер графа, выполненное при формировании координатных уравнений для координат в сокращенном гибридном координатном базисе и соответствующее рис. 6.7.

Поскольку граф является планарным, может быть выбрана либо каноническая система независимых сечений и контуров, либо система главных сечений и главных контуров на основе предварительно выбранного дерева графа.

Выбор системы независимых сечений и контуров выполним на основе дерева графа, показанного на рис. 6.10, которое определяет систему главных сечений и главных контуров. При этом формирование топологических матриц и запись топологических уравнений должно проводиться с учетом всех сечений и контуров, включая вырожденные. Полюсный граф избирательного усилителя с выбранной системой главных сечений и контуров показан на рис. 6.15. Для удобства формирования топологических подматриц y-ребра и z-ребра графа пронумерованы независимо друг от друга, кроме того, нумерация сечений и контуров проведена в порядке следования сначала невырожденных, а затем вырожденных координат.

Рис. 6.15. Система координат в полном координатном базисе

Так как при нумерации главных сечений сначала следуют невырожденные сечения, а затем вырожденные, матрица главных сечений имеет вид:

,

где - подматрица невырожденных сечений для y-ребер; - подматрица невырожденных сечений для z-ребер; - подматрица вырожденных сечений для z-ребер.

Независимые сечения графа рис. 6.15 выбраны на основе того же дерева, что и в графе рис. 6.10, поэтому подматрицы и будут совпадать с аналогичными подматрицами, составленными при формировании координатных уравнений для координат в сокращенном гибридном координатном базисе.

Подматрица вырожденных сечений для z-ребер имеет размерность :

.

Так как при нумерации главных контуров сначала следуют невырожденные контуры, а затем вырожденные, матрица главных контуров имеет вид:

,

где - подматрица невырожденных контуров для y-ребер; - подматрица вырожденных контуров для y-ребер; - подматрица невырожденных сечений для z-ребер.

Независимые контуры графа рис. 6.15 выбраны на основе того же дерева, что и в графе рис. 6.10, поэтому подматрицы и будут совпадать с аналогичными подматрицами, составленными при формировании координатных уравнений для координат в сокращенном гибридном координатном базисе.

Подматрица вырожденных контуров для y-ребер имеет размерность :

.

Обобщенное матричное топологическое уравнение имеет вид:

или

, (6.36)

где , - обобщенные топологические матрицы; , - обобщенные векторы токов и напряжений ребер графа, причем

-

вектор токов y-ребер;

-

вектор напряжений y-ребер;

- вектор токов z-ребер;

- вектор напряжений z-ребер.

Граф рис. 6.15 соответствует схеме замещения избирательного усилителя, приведенной на рис. 6.4, поэтому компонентные матрицы и уравнения будут идентичными соответствующим матрицам и уравнениям, составленным при формировании координатных уравнений для координат в сокращенном гибридном координатном базисе.

Для формирования системы координатных уравнений для ветвей необходимо подставить обобщенное компонентное уравнение (6.2) в обобщенное топологическое уравнение (6.1):

или

, (6.37)

где - матрица эквивалентных параметров; - обобщенный вектор внешних воздействий.

Задающие источники схемы замещения рис. 6.4 являются источниками э.д.с., расположенными во входной и выходной ветвях, поэтому матричное уравнение (6.37) может быть представлено в виде:

, (6.38)

где , - столбцы обобщенной топологической матрицы , соответствующие входному и выходному ребрам графа. Так как эти ребра относятся к z-ребрам, столбцы и имеют вид:

, , (6.39)

где , - столбцы матрицы главных контуров, соответствующие входному и выходному ребрам графа.

Входной и выходной токи связаны с компонентами вектора токов z-ребер выражениями:

, , (6.40)

где и - векторы-строки, обеспечивающие выделение из вектора токов входного и выходного z-ребер.

Так как и , векторы и имеют вид:

, .

Выражения (6.40) могут быть представлены в виде матричного уравнения:

, (6.41)

где , .

Объединив (6.38) и (6.41) в одно матричное уравнение

и решив его относительно и , получим

(6.42)

Сравнивая (6.42) с (6.13), приходим к выводу, что искомые схемные функции определяются выражениями (6.18)-(6.20).