Входной и выходной токи связаны с токами невырожденных контуров выражениями

, ,

которые могут быть представлены в виде матричного уравнения:

, (6.12)

где , .

Объединив (6.10) и (6.12) в одно матричное уравнение

и решив его относительно и , получим

(6.13)

Сравнивая (6.13) с (6.5) получаем выражения, связывающие z-параметры четырехполюсника с матрицей эквивалентных параметров схемы:

, ,

(6.14)

, .

Так как элементами матриц , , , являются значения 1, -1, 0, то определители, стоящие в числителях выражений (6.14) могут быть приведены к определителям (n -1)-го порядка, а определитель, стоящий в знаменателе этих выражений – к определителю (n -2)-го порядка, где n – порядок матрицы .

Определитель матрицы равен суммарному алгебраическому дополнению матрицы относительно преобразующих векторов и с обратным знаком:

. (6.15)

Обычно векторы и содержат значительное число нулевых составляющих. Поэтому эти векторы чаще всего отображают множеством номеров их ненулевых составляющих, разбивая каждое из них на подмножества номеров положительных и отрицательных составляющих, называемых положительными и отрицательными подмножествами.

Суммарное алгебраическое дополнение матрицы относительно преобразующих векторов и получают следующим образом:

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе . Прибавляют p-ую строку матрицы к строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают p-ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого p-ую строку вычеркивают.

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе Прибавляют q-ый столбец матрицы к столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают q-ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого q-ый столбец вычеркивают.

– Находят определитель преобразованной матрицы (n-1)-го порядка.

– Результат умножают на , где - знак произведения опорных элементов; p и q – номера опорных строки и столбца.

Определитель матрицы равен двухкратному

суммарному алгебраическому дополнению матрицы относительно преобразующих векторов , и , :

. (6.16)

Множества номеров ненулевых составляющих векторов и (как и векторов и ) могут содержать общую часть, определяемую их пересечением, и собственные подмножества, включающие те элементы, номера которых имеются только в таком векторе. На первом этапе определения опорные элементы в преобразующих векторах следует выбирать из тех, которые содержатся в собственных подмножествах. Невозможность такого выбора указывает на линейную зависимость векторов и (или векторов и ), следствием чего является равенство нулю двухкратного алгебраического дополнения .

Двухкратное суммарное алгебраическое дополнение матрицы относительно преобразующих векторов , и , получают следующим образом:

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе . Прибавляют -ую строку матрицы к строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают -ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого -ую строку вычеркивают.

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе Прибавляют -ый столбец матрицы к столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают -ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого -ый столбец вычеркивают.

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе . Прибавляют -ую строку матрицы к строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают -ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого -ую строку вычеркивают.

– Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе Прибавляют -ый столбец матрицы к столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают -ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого -ый столбец вычеркивают.

– Находят определитель преобразованной матрицы (n-2)-го порядка.

– Результат умножают на , где - знак произведения опорных элементов; , , , – номера опорных строк и столбцов;

.

Учитывая (6.15) и (6.16), выражения (6.14) для z-параметров могут быть представлены в виде:

, ,

(6.17)

, .

Подставляя (6.17) в выражения (6.7)-(6.9) и учитывая, что , получаем:

, (6.18)

, (6.19)

. (6.20)

Обобщенные топологические матрицы: