Определение схемных функций методом эквивалентных схем в расширенной системе координат.

Схема замещения усилителя, содержащая только двухполюсные электронные компоненты приведена на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Схема замещения избирательного усилителя, содержащая двухполюсные электронные компоненты

Схема замещения рис. 6.11 отличается от схемы рис. 6.4 тем, что входная и выходная ветви представлены идеальными источниками тока, что означает приведение схемы замещения к четырехполюснику в системе y-параметров, когда основными величинами являются входное и выходное напряжение, а второстепенными – входной и выходной токи.

Полюсный граф усилителя, соответствующий схеме замещения рис. 6.11, представлен на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Полюсный граф избирательного усилителя

При использовании расширенной системы координат распределение взаимно определенных ребер осуществляется в процессе выбора дерева графа, в которое включаются все y-ребра и только они, а все z-ребра входят в состав дополнения.

Для выбора дерева, обладающего указанным свойством, необходимо на первом этапе построить лес графа, полученного из исходного путем размыкания всех z-ребер и взаимно определенных ребер (рис. 6.13). Лес графа рис. 6.13 должен содержать ребер, которые выделены жирными линиями.

Рис. 6.13. Лес y-графа

Лес графа рис. 6.13 необходимо достроить до дерева исходного графа рис. 6.12 за счет взаимно определенных ребер, которые при этом относят к y-ребрам, при этом дерево графа рис. 6.12 должно содержать ребер. В качестве взаимно определенного ребра, включаемого в состав дерева, могут быть использованы ребра 8 или 10. Включим в состав дерева графа рис. 6.12 ребро 8 и отнесем его к y-ребрам. Оставшиеся взаимно определенные ребра (ребра 3, 10, 12, 14, 19) отнесем к z-ребрам. Поскольку y-ребро 15 не вошло в дерево графа, необходимо последовательно с этим ребром включить короткозамкнутое z-ребро, а y-ребро 15 ввести в состав дерева. В результате получаем полюсный граф избирательного усилителя, представленный на рис. 6.14, в котором ребра дерева выделены жирными линиями, а для удобства формирования топологических подматриц y-ребра и z-ребра пронумерованы независимо друг от друга.

Рис. 6.14. Система главных сечений в расширенном координатном базисе

Для графа рис. 6.14 , , , , поэтому расширенная система координат содержит главных сечений и главных контуров.

В расширенной системе координат топологические матрицы определяются выражениями

, , , ,

, ,

из которых следует, что для записи топологических уравнений достаточно сформировать матрицу главных сечений для хорд графа. Таким образом, при формировании математической модели достаточно использовать систему главных сечений, определяемых предварительно выбранным деревом графа и показанных на рис. 6.14.

Матрица главных сечений для хорд графа рис. 6.14 имеет размерность :

.

Обобщенное матричное топологическое уравнение имеет вид:

или

,

где , - обобщенные векторы токов и напряжений ребер графа, причем

- вектор токов y-ребер;

-

вектор напряжений y-ребер;

- вектор токов z-ребер;

- вектор напряжений z-ребер.

В графе рис. 6.14 все управляющие по току ребра отнесены к z-ребрам, а все управляющие по напряжению ребра – к y-ребрам, поэтому обобщенное матричное компонентное уравнение имеет вид

,

где - обобщенная компонентная матрица; - обобщенный вектор внешних воздействий; - матрица проводимостей y-ребер; - матрица сопротивлений z-ребер; - матрица управляющих параметров источников тока, управляемых током; - матрица управляющих параметров источников напряжения, управляемых напряжением; - вектор задающих токов; - вектор задающих э.д.с.

Так как в схеме замещения рис. 6.11 отсутствуют источники тока, управляемые напряжениям, матрица проводимостей y-ребер является диагональной матрицей порядка:

.

Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.11 не содержит источников напряжения, управляемых токами, поэтому матрица сопротивлений z-ребер является диагональной матрицей порядка:

.

Матрица управляющих параметров источников тока, управляемых токами, имеет размерность :

Матрица управляющих параметров источников напряжения, управляемых напряжениями, имеет размерность :

Задающие источники в схеме замещения рис. 6.11 являются источниками тока, следовательно, вектор задающих токов и вектор задающих э.д.с. имеют вид:

; .

В расширенной системе координат напряжения y-ребер совпадают с напряжениями главных сечений, а токи z-ребер – с токами главных контуров

, ,

или в матричной форме

,

где - вектор напряжений главных сечений; - вектор токов главных контуров; - обобщенный вектор состояния.

При использовании расширенной системы координат координатные уравнения для ветвей, координатные уравнения для координат и уравнения ветвей для координат принимают одинаковую форму:

или

, (6.21)

где - матрица эквивалентных параметров; - обобщенный вектор внешних воздействий.

При замещении входной и выходной ветвей схемы источниками тока электрическое состояние схемы, как четырехполюсника характеризуется системой уравнений в y-параметрах:

. (6.22)

Второстепенные величины четырехполюсника и связаны с параметрами источника сигнала и нагрузки соотношениями:

, . (6.23)

Из решения системы (6.22) совместно с соотношениями (6.23) следуют выражения для схемных функций:

, (6.24)

, (6.25)

. (6.26)

Поскольку задающие источники схемы замещения рис. 6.11 являются источниками тока, расположенными во входной и выходной ветвях, матричное уравнение (6.21) может быть представлено в виде:

, (6.27)

где , - столбцы обобщенной топологической матрицы , соответствующие входному и выходному ребрам графа. Так как эти ребра относятся к y-ребрам, столбцы и имеют вид:

, , (6.28)

где , - столбцы матрицы главных сечений, соответствующие входному и выходному ребрам графа.