Работа № 1.3

Математическое описание объекта с использованием плана эксперимента первого порядка

Планы эксперимента первого порядка обеспечивают получение уравнения регрессии, включающего только линейные эффекты и парные взаимодействия, т.е. уравнения следующего вида

В планах первого порядка основные факторы варьируются на двух уровнях:

верхнем и нижнем.

План, в котором имеются все возможные комбинации уровней основных факторов называется полным факторным планом (ПФП). Например, ПФП первого порядка для трех факторов представлен в таблице 1.3.1 в виде матрицы планирования.

Очевидно, количество опытов в ПФП первого порядка для n факторов равно N=2ⁿ.

Дробные факторные планы эксперимента также являются планами первого порядка. Их получают из полных факторных планов, используя кратную часть опытов. При этом может уменьшаться число выявленных эффектов в уравнении (1.3.1).

В работе планы эксперимента даются в кодовых обозначениях (см. Работу 1.2). Здесь предусмотрено число входных факторов от двух до пяти.

В таблице 1.3.1 представлен пример полного факторного плана эксперимента первого порядка в нормализованных значениях факторов.

Таблица 1.3.1.

Порядок работы

1. Задать диапазоны варьирования факторов Х_1min, X_1max, X_2min, X_2max, X_3min, X_3max. и т.д.

2. Построить полный факторный план для заданного числа факторов n согласно кодовым обозначениям в нормализованном масштабе, используя формулы перехода 1.2.4 (см. Работу 1.2).

3. Для опыта произвести заведомо большое число измерений выходного фактора (k = 50-100) с целью вычисления дисперсии воспроизводимости s ²_у. По формулам (1.1.3) и (1.1.4) вычислить s ²_у и s_у. (Грубые измерения отбрасываются автоматически).

4. Определить число измерений k во всех остальных опытах по формуле (1.2.6).

5. Выполнить все опыты, получив в каждом ряд измерений. Вычислить для каждого u -го опыта среднюю арифметическую ` Y_u и среднее квадратическое отклонение s_yu по формулам (1.1.2), и (1.1.4).Записать данные в таблицу 1.3.2.(на примере 3-х факторов). При отбрасывании грубых измерений объём выборки в каждом опыте следует дополнить новыми измерениями (пункт 5 Работы 1.2).

Таблица 1.3.2

6. Проверить гипотезу об однородности дисперсий во всех опытах по G -критерию Кохрена

(1.3.2)

где max s²_yu - максимальная дисперсия из всех N опытов.

Для однородности эксперимента необходимо и достаточно, чтобы G £ G_{крит .}

Критическое значение критерия Кохрена определяют по таблице 1.3.3 в зависимости от числа степеней свободы f₁=k-1 и f₂=N.

Таблица 1.3.3.

Значения G_крит. (q =5%)

7. Дисперсию воспроизводимости можно принять по пробному опыту (пункт 3) или определить как среднюю по всем опытам:

; (1.3.3)

8. Вычислить коэффициенты регрессии и их дисперсии можно по формулам для планов первого порядка:

(1.3.4)

Расчеты выполняются с использованием таблицы 1.3.2. Записать уравнение регрессии согласно его виду (1.3.1).

9. Далее производится статистический анализ полученного уравнения регрессии.

Сначала проверяют гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии. Для каждого из них рассчитывают t – критерий Стьюдента по формуле (1.2.5). Затем рассчитанное значение t – критерия сравнивается с критическим t_{кр .}, которое определяется по таблице 1.2.6.

Если t£ t_{кр .}, то проверяемый коэффициент регрессии можно приравнять нулю (он статистически незначим). Тогда соответствующий член регрессии исключается из уравнения регрессии, оно упрощается.

Записать упрощенное уравнение регрессии.

10. В заключение проверяется статистическая гипотеза об адекватности полученного упрощенного уравнения регрессии. Проверка производится по F - критерию Фишера. Для этого следует выполнить следующие вычисления:

а) вычислить остаточную дисперсию уравнения регрессии s ²_ост.

(1.3.5)

m – число значимых эффектов (слагаемых) в уравнении регрессии; число степеней свободы остаточной дисперсии f₁ =N-m;

б) вычислить F -критерий

; (1.3.6)

число степеней свободы f₂ принимается для дисперсии воспроизводимости s ²_у (пункт 7);

в) если F£ F_{крит .}, то гипотеза об адекватности полученного в п.10 уравнения регрессии принимается, и отвергается в противном случае. Значение F_{крит .} табулированы в таблице 1.3.4.

Таблица 1.3.4.

Значения F_{крит .} (f ₁, f ₂)

11. Преобразовать уравнение регрессии в п. 9 с учетом натурального масштаба факторов, использовав формулы перехода (1.2.1.).