Решение задачи нахождения оптимальной массы фермы

Из последнего уравнения системы (5.13) выразим N₄ и подставим в остальные уравнения системы. В результате исключим неизвестное N₄, и система ограничений примет вид

y₁ – RА₁ + 1, 5812у₅ – 1, 5812RA₄ = - 1, 5812F

y₂ – RА₂ – 5, 025 у₅ + 5, 025 RА₄= 0 (5.35)

у₃ – RA₃ – 6, 5 у₅ + 6, 5RA₄ = 1, 5F

у₄ – RA₃ + 6, 5 у₅ – 6, 5RA₄ = -1, 5F

Ранг матрицы системы ограничений (5.35) r = 4. Следовательно, базисных неизвестных будет 4, а свободных – 5. Неизвестные А₁, А₂, А₃, А₄ за свободные принять нельзя, так как свободные неизвестные в опорном плане принимаются равными нулю. Поэтому за свободные неизвестные принимаем у₁, у₂, у₃, у₄, у₅ и за базисные – А₁, А₂, А₃, А₄, которые из системы (5.35) выражаем через свободные (из последних двух уравнений выражаем А₄, а из первых трех – А₁, А₂, А₃)

(5.36)

Так как при y = 0 базисные неизвестные A _: неотрицательны, то первый опорный план будет иметь вид

(5.37)

Запишем функцию цели в базисной форме, подставив для этого (5.36) в (5.9),

(5.38)

Так как все коэффициенты при свободных неизвестных в функции цели не отрицательны, то найденный первый опорный план будет оптимальным. Следовательно, оптимальные площади поперечных сечений будут равны

При этом

Если

Следует заметить, что в результате оптимизации рассмотренной фермы она даже изменила свой первоначальный вид (стержень 3 убран).