Нелинейные модели

Слово нелинейные показывает, что соответствующие задачи описываются нелинейными уравнениями. Свойство нелинейности состоит в том, что результат взаимодействия нескольких факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Например, если планировать одновременную работу двух рабочих, то их производительность будет одна, если четырех - она может быть и меньше из-за недостаточности фронта работ, несогласованности действий рабочих и т.д. Нелинейная зависимость между переменными характерна и для задач размещения, в которых неизвестными являются не только пункты производства, но и объемы производства в каждом из них. Затраты на выпуск единицы строительной продукции обычно уменьшаются с ростом объема производства нелинейно. Поэтому в критерии оптимальности задачи размещения производства, представляющем собой приведенные затраты на производство и транспортировку продукции, будут содержаться нелинейные члены.

Покажем на примере различия в линейной и нелинейной постановках задач.

Пусть задача связана с определением оптимального распределения m однотипных строительных бригад для строительства n однотипных объектов.

Задан требуемый темп выполнения работ и норма их выполнения для каждой бригады - qi.

Требуется найти такое распределение бригад, при котором темп выполнения всего объема работ будет максимальным.

Введем обозначения:

V_i^тр - требуемый темп выполнения работ на i-ом объекте;

q_i - норма по выполнению работ на i-ом объекте;

х_i - количество бригад, назначаемых на выполнение работ на i-ом объекте.

Рассмотрим функцию,

V_i = V_i (х_i, q_i) (6.4)

характеризующую темп выполнения работ на i-ом объекте при выделении на этот объект х_i бригад.

В линейной постановке этой задачи целевая функция и ограничения должны быть линейными. В частности, функция V_i = V_i (х_i, q_i) запишется в виде:

V_i = х_i · q_i (6.5)

Графически эта зависимость представлена на рисунке 26.

Рисунок 26 - Зависимость темпа выполнения работ на объекте от количества выделенных бригад

В качестве критерия выберем средний темп выполнения работ на n объектах.

(6.6)

Если обозначить величину через C_i, то целевая функция будет иметь вид:

(6.7)

Систему ограничений можно построить следующим образом:

(6.8)

Таким образом, постановка задачи имеет следующий вид: найти такое количество бригад x_i, выделяемых на каждый объект, при котором достигает максимума функция

(6.9)

и выполняются ограничения:

(6.10)

На практике функцию V_i (x_i) вряд ли правильно считать при значениях x_i > 3 линейной. Учитывая тенденцию так называемого " насыщения", она скорее всего будет иметь вид, показанный на рисунке 27.

Рисунок 27 - Характер изменения общей производительности бригад в зависимости от их количества

Рассмотрим нелинейную постановку задачи, сняв требование линейности с функции V_i (x_i) и целевой функции F(x₁, x₂,..., х_n), т.е. будем считать их произвольного вида.

Покажем важнейший недостаток приведенной ранее линейной постановки задачи, а именно: критерий - средний темп выполнения работ

(6.11)

Он не учитывает возможности выполнения работ на отдельном объекте. Например, для следующих 2-х вариантов распределения бригад может оказаться средний темп выполнения работ одинаковым

Более полным будет обобщённый критерий, если его построить на принципе учёта расстояния или «дефицита» показателей эффективности по отдельным объектам, в частности, «дефицита» по темпам возведения отдельных объектов:

(6.12)

Обычно «дефицит» выражают в относительных величинах

(6.13)

Целевая функция с учётом приведённых ранее соображений может быть записана в виде:

(6.14)

Иначе говоря, чем меньше значения максимального " дефицита", т. е. функции F(x₁, x₂,..., х_n), тем в целом успех выполнения работ будет выше. При этом ограничения будут иметь вид:

(6.15)

Если в линейной постановке зависимость темпа строительства от количества выделенных на объект бригад описывалась формулой

(6.16)

то в нелинейной постановке она может иметь следующий вид:

(6.17)

где l_i - коэффициент, учитывающий условия выполнения работ (например, зимой).

При график функции V= показан на рисунке 28.

Рисунок 28 - Характер изменения возможностей бригад от их количества

В рассмотренном примере показана разница в линейной и нелинейной постановке аналогичной задачи.

В некоторых задачах из области организации и управления строительством в качестве " дефицита" может быть использовано отклонение требуемого времени продолжительности строительства от расчетного, т.е.

(6.18)

При этом целевая функция будет иметь вид:

F = max(∆ Т_i) (6.19)

Алгоритмом для поиска решений в случае нелинейных моделей является математический аппарат нелинейного программирования. Если целевая функция отыскивается в условиях неопределенности, то такая задача относится к стохастическому программированию. Применительно к экономико-технологическим явлениям и процессам нелинейное программирование относится к наиболее неизученному математическому направлению.