Общая теория кривых второго порядка

Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка

в следующем виде:

(1)

Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).

Введем некоторые определения.

Группу слагаемых a₁₁x²+2а₂₁xy+а₂₂у² назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а₁₃х+2а₂₃у+а₃₃ назовем линейной частью уравнения (1).

Коэффициенты а₁₁, a₁₂, а₂₂ назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а₁₃, а₂₃, а₃₃ — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами. Отметим, что коэффициент а₃₃ также называется свободным членом уравнения (1).

Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х₀, у₀), Тогда, как известно, х=х'+х₀, у=у'+у₀ и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:

Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:

Пусть дан определитель

Тогда минором элемента a_ij определителя Δ называется определитель M_ij полученный из данного, вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Имеет место следующее равенство:

Δ =(-1)ⁱ⁺¹a_i1M_i1+(-1)ⁱ⁺²a_i2M_i2+(-1)ⁱ⁺³a_i3M_i3 (*)

(разложение по элементам i-й строки.) Доказательство. Если i=2, то поменяем местами 2-ю и 1-ю строки. Получаем определитель Δ ₁, равный —Δ (свойство 2).

Если i=3, то поменяем вначале 3-ю строку со 2-й, а затем

полученную вторую с первой. Получим определитель Δ ₂, равный

Δ (свойство 2). Итак,

Аналогично,

.

В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.