Смешанное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (х ₁, у ₁, z ₁), = (x ₂, y ₂, z ₂) и = (x ₃, y ₃, z ₃). Тогда

Отсюда следует, что векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

=0

(13)

имеет решение.

Уравнения (13) называются уравнениями центра линии второго порядка. Если х₀, у₀ — решение (13), то точка 0'(х₀, у₀) — центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х₀, у₀) уравнение линии примет вид

(14)

Поэтому, если точка М(х', у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х', —у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии.

Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I₃, получаем

.

Значит,

(15)

Как было показано ранее, можно повернуть систему координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (3) не содержало

(9)

(10)

(11)

Следовательно, из (8) следует, что

(12)

Величины А, В, С, углы α, β и I₂ не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ =О, I'₃=I₃. Это и доказывает инвариантность I₃.

Теорема доказана.

Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I₁, I₂ и I₃.

Будем говорить, что

при I₂> О, уравнение (1) задает линию эллиптического типа;

при I₂< О, уравнение (1) задает линии гиперболического типа;

при I₂=О, уравнение (1) задает линии параболического типа.

При параллельном переносе можно попытаться добиться того,

чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'₁₃х' и 2а'₂₃y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система