Прямая на плоскости

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m₁, n₁) и =(m₂, n₂) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов

(7)

Тогда в новой системе координат O’X’Y’

Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x_0, и затем вторую,

умноженную на у₀. Тогда

Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x₀ и второй, умноженный на y₀. Получим, что I'₃=I₃.

Рассмотрим теперь преобразование поворота

Разложим I'₃ по элементам 3-го столбца. Получим:

=

(8)

Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).

Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a₁₂=(1/2)(а₁₁—а₂₂).

Введем также угол β, считая

, ,

если С 0. Если же С=0, т.е. а₁₃=а₂₃=0, то β =0.

Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:

a'₁₁=Азin(2φ +α)+В; а'₁₂=Асоs(2φ +α);

a'₂₂=—Азin(2φ +α)+В; a'₁₃=Csin(φ +β); (5)

a'₂₃= Ссоз(φ +β); а'₃₃=а₃₃.

Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.

Инварианты кривой второго порядка

Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция

f(а₁₁, а₁₂, a₂₂, a₁₃, а₂₃, а₃₃),

которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a₁₁,...а₃₃) = f(a'₁₁...а'₃₃).

Теорема 1.2. Величины

(6)

являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка

относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.

Инвариантность I₁ и I₂ следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что

следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а, 0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a, Р(а, 0)

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0, р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а, b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х, у) на прямой l. Тогда =(х - а, у - b) - направляющий вектор прямой l.

Следовательно,

Отсюда

y – b = k (x - а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.