Определители второго и третьего порядков

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента а _ij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

то а₁₁а₂₂> О, т.е. коэффициенты а₁₁ и а₂₂ оба отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I₁=a₁₁+а₂₂. Будем в дальнейшем считать, что I₁> О, т.е. а₁₁> 0 и а₂₂> 0 (если это не так, то умножим обе части (18) на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I₂ не меняется.

Теорема 1.3. Пусть уравнение (1) КВП — эллиптического типа (I₂> О) нормировано так, что I₁> О. Тогда при I₃< 0 — это уравнение эллипса. При I₃=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I₃> 0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).

Доказательство. Так для уравнения (18), I₁=а" ₁₁+а" ₂₂,

I₂=а" ₁₁а₂₂, то из условия I₁> О, I₂> 0 следует, что а" ₁₁> О, а" ₂₂> 0. Поэтому уравнение (18) можно записать так:

, при I₃< 0; (19)

, при I₃=0; (20)

, при I₃> 0; (21)

Теорема доказана.

Теорема 1.4. Пусть уравнение (1) - КВП гиперболического типа (I₂< 0). Тогда при I₃ 0 — это уравнение гиперболы, а при I₃=0 - пара пересекающихся прямых.

Доказательство. Так как для уравнения (18):

члена 2а'₁₂х'у'. Ясно, что в этом случае а'₁₂=0 и из формул (4) следует, что

Следовательно, при а₁₂ 0

(16)

Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:

(17)

Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)

путем поворота, если а₁₂ О, приводим уравнение (14) к виду:

(17)

в системе координат О" Х" У".