Теорема 2.10.

Докажем что оба определения опорного плана равносильны.

Пусть вектор - опорный план в смысле определения (2.14) с базисными компонентами

Тогда матрица

является базисной подматрицей матрицы А и так как ее определитель отличен от нуля, векторы линейно независимы.

Следовательно, если все , то вектор является опорным планом в смысле определения (2.17).

Если же среди ровно k (k< m) строго положительных компонент, то соответствующие им k векторов линейно независимы, так как они образуют подсистему линейно независимой системы векторов, т.е. и в этом случае вектор является опорным планом в смысле определения (2.17). Обратно, пусть вектор - опорный план в смысле определения (2.17), причем его компоненты

строго положительные, а соответствующие им векторы (*) линейно независимы.

Так как векторы , то .

Пусть k=m. Тогда компоненты векторов (i=1, 2, …, m) образуют базисную матрицу B матрицы A, а компоненты вектора являются его базисными компонентами. Следовательно, вектор - невырожденный опорный план ЗЛП в смысле определения (2.14).

Пусть теперь k< m. Тогда среди векторов

можно найти вектор , не входящий в систему векторов (*) и такой что если его присоединить к системе (*), то полученная система из (k+1)-ого вектора

(**)

линейно независима.

В самом деле, предположим, что система векторов (**) линейно зависима. Это означает, что в матрице А есть минор k -ого порядка равный нулю, т.е. ранг матрицы А равен k и по предположению меньше m. Получили противоречие, следовательно система векторов (**) линейно независима.

Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, что систему векторов (*) можно дополнить до системы из m линейно независимых векторов

(***)

присоединив к ней (m-k) векторов

системы , не входящих в (*).

Компоненты векторов системы (***) образуют базисную подматрицу матрицы А, а компоненты вектора являются его базисными компонентами.

Следовательно, в этом случае вектор есть неотрицательное решение системы линейных уравнений с k< m строго положительными компонентами , т.е. вырожденным опорным планом в смысле определения (2.14).