Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

СЛЕДСТВИЕ.

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и мы должны будем применять её до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).

14)

МАТРИЦЫ.ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ.

Ма́ трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов целых или комплексных чисел, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

Сложение матриц, имеющих один и тот же размер.

Умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n строк, можно умножить справа на матрицу, имеющую n столбцов).

Умножение матрицы на элемент основного кольца или поля.

Матрицей размера mХn называют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов.

Строки и столбцы матрицы последовательно нумеруются, и элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, обозначается символом а. Сами матрицы обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов (m = n), то матрицу называют квадратной. Элементы а11, а22,..., аmm называются диагональными и образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Определитель - число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

Формула показывает, что со своими знаками берутся члены, которые являются произведением элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – члены, являющиеся произведениями элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

Разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение.

.