Математикалық индукция тәсілін қолдану

Тең сіздіктерді дә лелдеуде математикалық индукция тә сілін қ олдануғ а болады. Математикалық индукция принциптерін келесі берілген тұ жырымдамада барлық натурал n сандары p-дан кіші емес ү шін ақ иқ ат, егер:

1) n=p ү шін тұ жырымдама ақ иқ ат болса,

2) n=k(k p) тұ жырымдама ақ иқ ат деп, n=k+1 ү шін тұ жырымдама ақ иқ ат екенін дә лелдеу керек.

_{№8. Дә лелдеу керек:}

_{мұ ндағ ы} n> 1, n N

Дә лелдеуі:

n=2, _{ақ иқ ат}

n=k тұ жырымдама ақ иқ ат деп алып

n=k+1 тұ жырымдаманың ақ иқ ат екенін дә лелдейміз

n(n> 1)
. 1- есеп. Тақ натурал сандар ү шін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығ ын дә лелдеу керек

1. n = 1 болса S(1) = 1²

n = k ү шін формула S(n) = n² орынды деп ұ йғ арып, n = k+1 ү шін орынды болатындығ ын S(k+1) = (k+1)² дә лелдейік.S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k² +2k+1 = (k+1)² яғ ни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дә лелденді. Сондық тан барлық натурал n сандар ү шін орынды.
15, Математикалық индукция тә сілін қ олдану Тең сіздіктерді дә лелдеуде математикалық индукция тә сілін қ олдануғ а болады. Математикалық индукция принциптерін келесі берілген тұ жырымдамада барлық натурал n сандары p-дан кіші емес ү шін ақ иқ ат, егер: 1) n=p ү шін тұ жырымдама ақ иқ ат болса, 2) n=k(k p) тұ жырымдама ақ иқ ат деп, n=k+1 ү шін тұ жырымдама ақ иқ ат екенін дә лелдеу керек.

16, Санның бө лінгіштігі.
Бір санды екінші санғ а бө лу математикалық есептеулерде ө те маң ызды роль атқ арады. Сандардың бө лінгіштігі кез-келген натурал санды жай сандардың кө бейтіндісі тү рінде жіктеп жазуғ а болады деген теоремағ а жә не қ атар тұ рғ ан сандардың қ асиетіне сү йенеді. Қ алдық пен бө лу, қ ысқ аша кө бейту формулалары, математикалық индукция кө мегімен сандарды бір-біріне бө луге болады.
Мысалы: n³ +3n² +8n саны n-нің кез-келген мә нінде 6-ғ а бө лінетінін
дә лелдеу керек.
Шешуі: берілген ө рнекті (n³ +3n² +2n)+6n= n(n² +3n+2)+6n=
=n(n+1)(n+2)+6n тү рінде жазамыз.
Екінші қ осылғ ыш 6-ғ а бө лінеді. Бірінші қ осылғ ыш қ атар тұ рғ ан ү ш санның кө бейтіндісі, ол да 6-ғ а бө лінеді. Олай болса, берілген қ осынды 6-ғ а бө лінеді.

17, Коши-Буняковский ә дісін қ олдану

Коши-Буняковский ә дісін бірінші сандар ү шін дә лелдейміз. жә не векторлары берілсін, мектеп кө лемінде белгілі

немесе

Бұ л Коши-Буняковскийдің тең сіздігі сандары ү шін орындалатын дербес жағ дайы болады.

Коши-Буняковскийдің тең сіздігі сандары ү шін келесі жалпы тү рде жазылады:

№5. Дә лелдеу керек

Дә лелдеуі:

18, Арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қ атынасын қ олдану ә дісі

Кейбір тең сіздіктерді дә лелдегенде, оң a жә не b сандары ү шін арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қ атынасын қ олданады: .

Мына ө рнекте гармониялық орта,

– геометриялық орта,

– арифметикалық орта,

– квадраттық орта.

Бұ л тең сіздікті дә лелдеу ә дісі кү рделі тең сіздіктерді дә лелдеуде кө п қ олданылады.

№4 тең сіздікті дә лелде , мұ ндағ ы

Дә лелдеуі: егер , онда - ны қ олданып,

-ны (1) аламыз жә не осыдан (2)

(1) жә не (2) қ осып аламыз.

19, Комбинаторика есептері

Комбинаторика ақ ырлы жиындар ү шін тө мендегідей тү рдегі есептерді шешеді:

а) берілген қ асиетті қ анағ аттандыратын қ анша элемент бар екенін анық тау;

б) берілген қ асиетті қ анағ аттандыратын барлық элементтерді тізіп шығ атын алгоритмді қ ұ ру;

в) Кейбір белгісі бойынша кө рсетілген элементтердің ішінен ең жақ сыларын таң дап алу.

Біз тек бірінші типті есептермен айналысатын боламыз. Сонымен қ атар n элементтен тұ ратын Х ақ ырсыз жиынның берілген қ асиетті қ анағ аттандыратын r элементті таң дап алу жайлы есепті қ арастырамыз.Осындай таң даудың нә тижесін іріктеме деп атаймыз.