Комбинаториканың негізгі ережелері

Қ осынды ережесі. Егер a элементі m ә діспен таң дап алынса, ал b элементі басқ а бір k ә діспен таң дап алынса, онда a немесе b элементтерінің біреуін m+k ә діспен таң дап алуғ а болады.

Мысал. Ат қ орада тө рт ат жә не екі пони бар. Ө зіне скакун таң дап алудың неше мү мкіндігі бар? Бұ л жерде біз қ осу ережесін қ олданамыз: екі жиыннан бір элементті (ат немесе пони) ә діспен таң дап аламыз.

Кө бейту ережесі. Егер а элементін m ә діспен таң дап алуғ а болса, ал бұ дан кейін b элементін k ә діспен алынады, онда элементтер жұ бын ә діспен таң дап алуғ а болады.

Мысал. Шағ ылар жұ бын алты ә діспен таң дап алуғ а, ал бә тінкелер жұ бын ү ш ә діспен таң дап алуғ а болады. Неше тә сілмен шаң ғ ыны бә тінкемен таң дап алуғ а болады? Бұ л жерде элементтер жұ бын қ олданамыз (шаң ғ ы, бә тінке) – барлығ ы 6*3=18 ә діспен таң даймыз.

Енгізу-шығ ару ережесі. Егер S қ асиетін m элемент қ анағ аттандырса, ал P қ асиетін k элемент қ анағ аттандырса, онда S немесе P қ асиеттерін элемент қ анағ аттандырады, мұ ндағ ы l – бір уақ ытта S жә не P қ асиетттерін қ анағ аттандыратын элементтер саны.

20, Ньютон биномы – екі қ осылғ ыштың (биномның) қ осындысының кез келген бү тін оң дә режесін сол қ осылғ ыштардың дә режелері арқ ылы ө рнектейтін формула:

,

мұ ндағ ы — биномдық коэффициенттер, — теріс емес бү тін сан.

Екі қ осылғ ыштың қ осындысының квадраты (n=2) мен кубы (n=3) Ньютон биномының дербес жағ дайы болып есептеледі: (a+b)²=a²+2ab+b²; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. Ньютон биномы формуласының коэффиценттері биномдық коэффициенттер деп аталады. Биномдық коэффиценттің бірнеше қ асиеттері бар:

· еолардың барлығ ы бү тін оң сандар;

· ешеткі коэффиценттері 1-ге тең;

· екі шеткі мү шелерінен бірдей қ ашық тық та тұ рғ ан мү шелерінің коэффиценттері бірдей болады, т.б.

Ньютон биномының бү тін оң кө рсеткішті биномдарғ а арналғ ан формуласы И.Ньютонғ а дейін ү нді жә не Ислам математиктеріне белгілі болғ ан, алайда Ньютон бө лшек немесе теріс кө рсеткішті биномдар ү шін де жіктелудің мү мкіндігін кө рсеткен.

21, Ү шбұ рыш - ең қ арапайым кө пбұ рыш, ү ш нү ктеден, ү ш қ абырғ адан жә не ү ш бұ рыштан тұ рады немесе бір тү зу бойында жатпайтын ү ш нү ктені қ осатын кесінділер шектейтін жазық тық бө лігі.Ү шбұ рыштардың тү рлері: тең қ абырғ алы, тең бү йірлі, сү йірбұ рышты, тік бұ рышты, доғ ал бұ рышты.Доғ албұ рышты ү шбұ рыш - ішкі бір бұ рышы доғ ал бұ рыш болатын ү шбұ рыш.

Кез келген ү шбұ рышта Екі қ абырғ аның қ осындысы ү шінші қ абырғ адан ү лкен, ал айырмасы ү шіншісінен кіші болады.Сыртқ ы бұ рыш онымен сыбайлас емес екі ішкі бұ рыштың қ осындысына тең болады. Ішкі бұ рыштардың қ осындысы 180º -қ а тең.

Шбұ рыштар тең дігінің белгілері Екі ү шбұ рыштың мына ө лшемдері тең болса, онда олар ө зара тең болады: Екі қ абырғ асы мен олардың арасындағ ы бұ рышы. Бір қ абырғ асы мен оғ ан іргелес бұ рыштары. Ү ш қ абырғ асы.

І белгі. Егер бір ү шбұ рыштың екі қ абырғ асы мен олардың арасындағ ы бұ рышы екінші ү шбұ рыштың сә йкес екі қ абырғ асы мен олардың арасындағ ы бұ рышына тең болса, онда бұ л ү шбұ рыштар тең болады.

ІІ белгі. Егер бір ү шбұ рыштың бір қ абырғ асы мен оғ ан іргелес екі бұ рышы екінші ү шбұ рыштың сә йкес бір қ абырғ асы мен оғ ан іргелес екі бұ рышына тең болса, онда бұ л ү шбұ рыштар тең болады.

ІІІ белгі. Егер бір ү шбұ рыштың ү ш қ абырғ асы екінші ү шбұ рыштың сә йкес ү ш қ абырғ асына тең болса, онда бұ л ү шбұ рыштар тең болады.

Ү шбұ рыштың биіктігі деп оның тө бесінен қ арсы жатқ ан қ абырғ асы арқ ылы ө тетін тү зуге тү сірілген перпендикулярды айтады.

Ү шбұ рыштың берілген тө бесінен жү ргізілген биссектрисасы деп осы тө бесіндегі бұ рыш биссектрисасының қ арсы жатқ ан қ абырғ асымен шектелетін кесіндіні айтады.

Ү шбұ рыштың берілген тө бесінен жү ргізілген медианасы деп осы тө бені қ арсы жатқ ан қ абырғ асының ортасымен қ осатын кесіндіні айтады.

Теорема. Тең бү йірлі ү шбұ рыштың тө бесінен табанына жү ргізілген биссектрисасы оның ә рі медианасы, ә рі биіктігі болады.

22, Ү шбұ рышқ а сырттай сызылғ ан шең бердің центрі – ү ш орта перпендикулярдың қ иылысу нү ктесі жә не ол ү шбұ рыштың бірінші тамаша нү ктесі болып табылады.

Ү ш орта перпендикулядың бір нү ктеде қ иылысатынын дә лелдеу ү шін келесі теорема қ олданылады.

m ─ АВ кесіндісіне жү ргізілген орта перпендикуляр, ал О нү ктесі ─ осы кесіндінің ортасы болсын. m тү зуінің бойынан кез-келген бірақ О нү ктесінен басқ а бір Р нү ктесі алынсын. Р нү ктесі мен АВ кесіндісінің ұ штары қ осылды.

Кері теорема: Кесіндінің ұ штарынан бірдей қ ашық тық та жатқ ан ә р нү кте кесіндіге жү ргізілген орта перпендикулярдың бойында жатады.

АВ кесіндісінің ұ штарынан бірдей қ ашық тық та жататын кез-келген N нү ктесін қ арастырып, оның m тү зуінде жататынын дә лелдеу керек. Салдары: Ү шбұ рыштың қ абырғ аларына жү ргізілген орта перпендикулярлар бір нү ктеде қ иылысады

Дә лелдеуі: АВС ү шбұ рышы, m жә не n ─ орта перпендикуляр, жә не олар О нү ктесінде қ иылысады , АО = ОВ жә не ОВ = ОС. Бұ дан, АО = ОС. Демек, О нү ктесі АС-ның орта перпендикулярында жатады, яғ ни, m, n жә не р орта перпендикулярлары бір нү ктеде қ иылысады.