Алгоритмическая неразрешимостьи ее следствия для организации разумной деятельности

Алгоритм определяется как общепонятная система точных предписаний,
представляющая в общем виде решение всех задач определенного класса
и позволяющая безошибочно решать любую задачу этого класса за конеч-
ное число шагов. Для организации мышления было бы очень удобно, что-
бы для любой задачи был расписан свой алгоритм — строгая, однозначно
определенная последовательность шагов, операций, которая бы всегда бе-

Исследовательское поведение

зошибочно приводила к решению. Еще лучше было бы разработать на-
столько универсальный алгоритм, чтобы он был приложим не только к от-
дельному типу задач или к отдельной области (например, геометрии), а во-
обще к любой задаче, с которой только могут столкнуться люди в какой
угодно области. Иначе говоря, хорошо было бы иметь метод — «универ-
сальный решатель задач» по терминологии А. Ньюэлла и Г. Саймона.

Однако надежды на существование такого универсального метода ока-
зались несбыточными. В XX веке было открыто чрезвычайно важное яв-
ление алгоритмической неразрешимости: было строго доказано, что мно-
гие однотипные, корректно поставленные массовые задачи, относящиеся
к одному и тому же классу, в принципе не имеют каких-либо алгоритмов
решения. Однотипность этих задач означает лишь полную однотипность
условий и требований, но не однотипность методов решения, которая
здесь, как ни парадоксально, невозможна!

Алгоритмическая неразрешимость массовой проблемы не означает не-
разрешимости той или иной единичной проблемы данного класса. Та или
иная конкретная проблема может иметь решение, причем даже вполне оче-
видное, а для другой проблемы может существовать простое и очевидное
доказательство отсутствия решения (доказательство того, что множество
решений пусто). Но в целом данный класс проблем не имеет ни общего
универсального алгоритма решения, применимого ко всем проблемам это-
го класса, ни ветвящегося алгоритма разбиения класса на подклассы, к
каждому из которых был бы применим свой специфический алгоритм. Для
решения отдельных подклассов задач нужно разрабатывать свои алгорит-
мы; для некоторых отдельных задач требуется разработка методов, вынуж-
денно ограниченных, уникальных.

Алгоритмически неразрешимыми, например, являются: проблема рас-
познавания: закончит ли свою работу (остановится ли) или же «зависнет»
в бесконечном цикле произвольно выбранная программа действий алго-
ритмического типа (не только компьютерная, но и реализуемая человеком
по алгоритмическому типу); проблема эквивалентности программ; тожде-
ства двух математических выражений; проблема распознавания того, мож-
но ли из имеющихся автоматов собрать заданный автомат; множество дру-
гих проблем, относящихся к топологии, теории групп и другим областям.

Алгоритмическая неразрешимость как невозможность обобщенной си-
стемы точных предписаний по решению задач одного и того же типа име-
ет принципиальное значение для психологии мышления и для теории по-
знания вообще. Она означает наложение ряда принципиальных ограниче-
ний на основные компоненты деятельности человека или деятельности
любой другой системы, обладающей психикой. Это — ограничения на пла-
нирование деятельности, на ее осуществление, на контроль результатов,
коррекцию. Данные компоненты не могут быть построены на алгоритми-
ческой основе. Они могут включать в себя те или иные алгоритмические
процедуры, но принципиально не могут быть сведены к ним. В решении
сложных задач всегда наличествуют неалгоритмизуемые компоненты, и
именно они представляют основную сложность.

Глава 8. Мышление

Возникает вопрос: как же люди решают конкретные задачи, относящи-
еся к классу алгоритмически неразрешимых. А ведь они их решают— за-
дачи и на планирование, и на доказательство тождества математических
выражений, и на конструирование заданных автоматов из имеющегося на-
бора, и на поиск неисправности в системе, и многие другие.

Решения алгоритмически неразрешимых задач и доказательства их пра-
вильности возможны и осуществляются очень часто. Но для каждого та-
кого решения приходится каждый раз особым образом комбинировать раз-
личные элементы знания. При этом построение «здания» решения алго-
ритмически неразрешимой задачи с неизбежностью требует творчества:
способ решения не выводится из более общего известного типового мето-
да, а изобретается. Достижимость решения здесь не может быть гаранти-
рована на 100% никакими методами — в отличие от ситуации с алгорит-
мически разрешимыми задачами. Здесь неизбежно начинают играть роль
индивидуальные творческие возможности решающего.

Объективная невозможность универсальных точных предписаний, од-
нозначно приводящих к заданному результату, означает свободу выбора и
необходимость творческого поиска. Эта необходимость в творчестве ни-
когда не исчезнет и не уменьшится при любой степени продвинутости вы-
водного знания и построенных на его основе точных предписаний и ин-
струкций.

Еще в XIX веке крупнейший американский психолог и философ Виль-
ям Джемс предложил следующее описание процесса решения творческих
задач. Фактически любая задача предполагает выделение в некотором яв-
лении Этакого его аспекта М, который позволяет удовлетворить цели за-
дачи Р. Задача заключается в том, что дано S и Р, а требуется найти про-
межуточное звено М. Например, для установления площади треугольника
нужно обратиться к тому свойству треугольника, что он может быть пред-
ставлен в виде половины четырехугольника, писал Джемс. Целостное яв-
ление треугольника S обладает множеством свойств, но для решения за-
дачи, связанной с определением площади Р, требуется учесть только одно
из этих свойств М (см. рис. 8.8).

Джемс называет свойство, благодаря которому человек может выделить
нужное свойство М из всех других свойств вещи, проницательностью. Он
пишет, что важную роль в вычленении М играет ассоциация по признаку
подобия. Сопоставляя подобные случаи, человек выявляет тот посредству-
ющий элемент, который характеризует все эти случаи.

Более ясная теория на этот счет была выдвинута чуть позднее немец-
ким психологом Георгом Элиасом Мюллером. Эта теория, названная те-
орией констелляций, предполагает, что 5и У, входя в поле сознания, вле-
кут за собой ассоциативно связанные содержания. Пусть, например, с S
связаны элементы Л/, Л/, М_к> М_п и т.д., а с Р— К, L_t, Л/, N, и т.д. Тогда Л/,
будучи связано с обоими элементами задачи, будет обладать наибольшей
силой ассоциативных связей и выделится в сознании, в то время как ос-
тальные ассоциации оттормозятся. Схематически теория констелляций
может быть изображена следующим образом (рис. 8.9).