Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется вида (1), где - функция от х или постоянные Определение2. Если правая часть (тождественно), то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка, если , то уравнение называется неоднородным. Таким образом (1) – неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (уравнение правой частью), (2) - однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Пусть p, q – постоянные, тогда имеем частные случаи уравнений (1) и (2): (3) – неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (с правой частью) (4) – однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка представляет собой наиболее хорошо изученный класс уравнений, многие задачи физики приводят к решению таких уравнений. В физике уравнение (3) называют уравнением вынужденных колебаний, а уравнение (4) – уравнением свободных колебаний. Определение3. Функции и называются линейно независимыми, если . Теорем (об общем решении однородного уравнения). Пусть и - два частных линейно независимых решения уравнения (2) . Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид , где - произвольные постоянные.
|