Определение и свойства двойного интеграла

Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости ХОУ. Разобьём область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади и диаметры (диаметром области называется наибольшее из элементарной области произвольную точку ) и умножим значение функции в точке на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции по области D называется сумма вида

Если при интегральная сумма имеет конечный предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается:

Геометрический смысли. Если в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического бруса, ограниченного сверху поверхностью сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, и снизу – областью D плоскости ХОУ.