Відповідь: .

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a. Найдите расстояние между BD₁ и DC_1.

Розв’язання: 1. CD ₁ – проекція BD ₁ на грань CC ₁ D ₁ D. CD ₁ ∩ C ₁ D = K (Рис. 10).

2. За теоремою про три перпендикуляри BD ₁ ^ C ₁ D.

3. В трикутнику BCD ₁ опустимо з точки K перпендикуляр KH на сторону BD ₁.

4. Відстань між прямими, щоперетинаються дорівнює довжині їх загального перпендикуляра. Площина трикутника BCD₁ перпендикулярна C₁D, отже відрізок KH перпендикулярний C₁D. З іншого боку, KH перпендикулярний BD₁ (з побудови). Отже, KH - загальний перпендикуляр для прямих, що перетинаються C₁D і BD₁, а його довжина і є шукана відстань.

Рис. 10

5. Розглянемо ∆ BCD ₁ (чертеж 33). Ð C = 90⁰, BC = a (за умовою), CD ₁ = a (діагональ квадрата зі стороною a), BD ₁ = a (за теоремою Піфагора), KD ₁ = ½ CD ₁ = .

6. ∆ BCD ₁ ~ ∆ KHD ₁ (за двома кутами, (Ð C = Ð H = 90⁰, Ð D ₁ – спільний). Тоді .

Рис.11

Отримуємо: .