Тема: показникова та логарифмічна функції

1. Знайти всі цілі значення x, що задовольняють нерівності
.
Розв’язання: область визначення лівої частини нерівності . Значить, нам досить розглянути три значення x: 1, 2, 3.

Якщо , То ліва частина дорівнює .

Якщо , То .

Якщо , То .

Відповідь: 1; 2.

2. Знайти всі цілі x, що задовольняють нерівності
.
Розв’язання: розглянемо функцію .

Доведемо, що, починаючи з деякого x, f (x) зростає. Це можна було зробити звичайним шляхом, оцінюючи похідну. Ми зробимо інакше. Нам достатньо довести зростання функції для цілих x, тобто що .

Маємо .

Остання нерівність виконується при , Тобто для всіх допустимих цілих x.

Нам залишилося знайти найбільше ціле, для якого (Або найменше, для якого ).

Доведемо, що .

Далі, .

Відповідь: -1, 0, 1, 2 [22].

3. Знайти всі значення параметра , При яких існує єдине значення , при якому виконується нерівність:

.
Розв’язання: Позначимо () і перейдемо до основи 5. Отримаємо:
.
Функція від , розташована в чисельнику, монотонно убуває. Неважко підібрати значення , При якій вона звертається в нуль: .
Якщо , то рішенням нерівності щодо буде .

А отже, вихідна нерівність не може мати єдиного Розв’язання: (нерівність при будь-якому має нескінченно багато розв’язань)
Отже, і рішенням щодо буде .

Повертаючись до , отримаємо . Для того щоб існувало єдине значення , Що задовольняє останнім нерівностей, необхідно і достатньо, щоб найменше значення квадратного тричлена дорівнювало б 4, тобто .

Відповідь: [5].

4. При будь-якому значенні параметра a розв’язати нерівність:

.

Розв’язання: розглянемо площину і зобразимо на ній безліч точок, координати яких задовольняють нерівності рис.7.

Рис. 7.

Спочатку зобразимо область, для точок якої має сенс . Це буде пывплощина (Правіше і нижче прямої ), з якої вилучені частини прямих .

Після потенціювання нерівності отримаємо . Останньому нерівності відповідає область під параболою (при цьому ).
Усередині смуги буде . На малюнку 5 область , для точок якої є заштрихованою.

Тепер вісь точками розбита на шість ділянок, на кожному з яких легко виписується рішення нашого нерівності. Для цього беремо на відповідній ділянці, проводимо горизонтальну пряму, знаходимо значення , на відповідних кінцях відрізків цієї прямої, що потрапили в заштрихованную зону.

Наприклад, якщо , То отримуємо два відрізки, кінці першого: і (Менший корінь рівняння ), Другого: і .

Відповідь: якщо , , розв’язків немає;

якщо , то ;

якщо , то і ;

якщо , то і ;

якщо , то і ;

якщо , то ; якщо , То і [4].

5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання: оцінимо ліву і праву частини рівняння:

а), так как, х² +4х+13≥ 9, а

б) , оскільки .

Оцінка частин рівняння показує, що ліва частина не менше, а права не більш двох при будь-яких допустимих значеннях змінної x. Отже, дане рівняння рівносильне системі:

Перше рівняння системи має тільки один корінь х = -2. Підставляючи це значення в друге рівняння отримуємо вірну числову рівність:

.

Відповідь: 2

6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання: оцінимо ліву і праву частини рівняння:

;

- сума одиниці і від’ємного числа, тому рівність можлива тільки за умови: /

Розв’яжемо друге рівняння: , ,

, х² +х=0.

Корені: х=0 і х=-1.

Перевіримо справедливість першої рівності, підставивши ці корені. При х = 0, отримуємо правильну рівність, при х = -1 -невірну. Значить, дане рівняння має єдиний корінь х = 0.

Відповідь: х = 0