Проблема пятого постулата Евклида. Неевклидовы геометрии.

Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.).

На современном языке текст Евклида формулируется так:

«Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.»

Более распространена эквивалентная формулировка, принадлежащая Проклу (5 в. н. э.):

«В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.»

Есть и другие эквивалентные формулировки. Эквивалентность означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных. Он больше похож на сложную, неочевидную теорему. И дело не только в сложности формулировки. Очень нелегко убедить критически настроенного человека в том, что это утверждение достаточно обоснованно.

Пример: если две прямые пересекают третью на расстоянии 1 метр друг от друга, одна — под прямым углом, другая — под углом 89°59'59", то они (из соображений тригонометрии) должны пересечься через 206 км. Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических расчётах). Но проверить, что прямые действительно пересекаются на расстоянии 206 км от третьей прямой, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а физика). Таким образом, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

Поэтому математики с давних времён пытались «улучшить Евклида»: либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида («все прямые углы равны») действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата. Первые попытки относятся к 5 в. н. э. (Прокл Диадох) или, возможно, 2 в. н. э. (Клавдий Птолемей); затем постулатом занялись математики стран ислама. Но в каждом из этих доказательств рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата. Однако в целом все эти попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату — гипотезы острого и тупого угла (четырёхугольник Ламберта: три внутренних угла прямые, а четвёртый — прямой, острый или тупой).

В начале 18-го века итальянец Джироламо Саккери близко подошёл к созданию неевклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида. (Традиционно термин «Неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии). В неевклидовых геометриях вместо V постулата используется иная аксиома, что позволяет создать альтернативную, внутренне логически непротиворечивую систему.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия): «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с данной».

Сферическая геометрия (геометрия Римана): аналогами прямых выступают большие круги, параллельные прямые вообще отсутствуют.

Эти геометрии относятся к метрическим геометриям трёхмерного пространства постоянной кривизны. Положительная кривизна соответствует сферической геометрии, отрицательная — геометрии Лобачевского. В евклидовой геометрии кривизна нулевая.

Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив «ложную геометрию», и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного. Саккери заменил пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии (Лобачевского) («гипотеза острого угла») и доказал целый ряд теорем этой геометрии. Однако в результате вычислительной ошибки он сделал неверный вывод, что эта геометрия содержит в себе противоречие.

Сочинение Саккери было оценено только после создания неевклидовой геометрии.

После Саккери проблемой пятого постулата занимался Адриен Мари Лежандр (Франция, конец 18 в.), однако его доказательства оказались ошибочными.

В первой половине 19 века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: Карл Фридрих Гаусс (Германия), Николай Иванович Лобачевский (Россия) и Янош Бойяи (Венгрия). Но цель у них была уже иная — не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово.

Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришёл к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой. Обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым, но из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии.

Лобачевский и Бойяи независимо друг от друга в первой половине 19 века выдвинули схожие теории (Лобачевский — на несколько лет раньше). Лобачевский объявил аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением — с его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, которая описывает свойства пространства. Учёный догадался, что если ко всем прочим аксиомам мы добавляем пятый постулат Евклида, то получается непротиворечивая геометрическая система — та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же добавить вместо пятого постулата отрицание аксиомы параллельности, полученная геометрическая система («воображаемая геометрия») также будет непротиворечива. В качестве альтернативной аксиомы Лобачевский предложил следующую:

«На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.»

Он рассмотрел в пространстве пучок параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучкам, — орисферы. Из свойств орисфер вытекала справедливость V постулата, т. е. из материала своей «воображаемой» геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. К сожалению, не наоборот. Создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной «воображаемой» геометрии — и законность его геометрической системы установлена.

Не сумев доказать непротиворечивость новой геометрии (тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами), ни Лобачевский, ни Бойяи не нашли признания среди современников, не считая Гаусса — сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в котором ясно выражено его чувство солидарности. Лишь спустя десятилетия после смерти учёных появились исследования, которые доказали, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом, и доказать его невозможно. Сначала математики (Бернхард Риман, середина 19 в.), а затем и физики (Альберт Эйнштейн с Общей теорией относительности, начало 20 в.), окончательно покончили с догматом о евклидовой геометрии физического пространства. Многовековая драма идей завершилась.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.