Виды неопределенностей. Привило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме точки x₀), в этой окрестности