Дифференциал функции и его свойства. Дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков.

Пусть ф-я дифференц. в некотором промежутке, тогда производная от этой ф-ии так же является ф-ией и может иметь производную.

производная 1 порядка.

производная 2 пордяка

Другие обозначения 2 порядка:

производная 3 порядка

производная 4 порядка

производная 5 порядка

производная n порядка

Другие обозначения:

Пример:

Механический смысл 2 производной:

Пусть матер. точка движется прямолинейно и равномерно по закону

Вычислим ускорение точки в момент времени t. Обозначим через

Дифференциал функции и его свойства. Дифференциалы высших порядков.

1) Дифференциалом ф-ции наз. главная часть приращения ф-ции относительно

Обознач. (1)

Пусть ф-ция Найдем её дифференциал

Другая форма записи:

(2)

Из (2) выразим производную:

Пусть Найдем

Пример:

Свойства:

Пусть Дифф. в нек. промежутке

1)

2)

3)

4) ;

2) Дифференциал высших порядков.

Дифференциалом 2 порядка-это дифф. от диффер.

;

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′ (x)dx есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.