Метод производящих функций

Пусть имеется функция дискретного аргумента n, представляющая собой невозрастающую последовательность. Z- преобразованием последовательности называют функцию комплексной переменной

.

Если функция p_n имеет смысл распределения вероятностей полной системы событий, то соответствующее z -преобразование называют производящей функцией. Применение этого преобразования позволяет упростить решение уравнений равновесия для процессов гибели-размножения, сводя решение систем разностных уравнений к системам алгебраических.

Для производящих функций нетрудно получить как частный случай следующие соотношения

Теперь вернемся к системе массового обслуживания M/M/1, уравнения которой имеют вид

Решим эти уравнения методом производящих функций. Умножим правую и левую часть на zⁿ и просуммируем от нуля до бесконечности.

В результате получим

.

Группируя соответствующие члены, получаем

Из соотношения

Полученное выражение сразу позволяет найти среднюю длину очереди, исходя из свойств производящей функции

.

Этот результат, конечно, совпадает с полученным ранее прямым методом.

Найденная производящая функция позволяет сразу определить и все значения ве­роятностей. С этой целью можно воспользоваться таблицей z-преобразований или разложить производящую функцию в степенной ряд и выписать полученные коэф­фициенты. Можно также воспользоваться вычислением обратного z-преобразова­ния с помощью теоремы о вычетах.

.

Рассмотрим теперь систему M/M/2, которая встретится нам в дальнейшем еще раз. Решение уравнения равновесия для неё было найдено в виде

Найдем производящую функцию

Выражения для полученных здесь производящих функций будут использованы далее при рассмотрении сетей с интеграцией средств коммутации пакетов и каналов.