Принцип Даламбера – Лагранжа. Рівняння Лагранжа.

Диференціальні рівняння руху невільної матеріальної точки і системи можуть бути представлені у формі рівняння рівноваги системи сил. Вперше на ці обставини було вказано Даламбером. Скористаємося диференціальним рівнянням руху невільної матеріальної точки в векторній формі і запишемо його для системи n точок: (1) Зберемо всі члени в одну частину рівності і назвемо вектори

даламберовими силами інерції. Диференціальні рівняння руху системи матеріальних точок з введенням даламберових сил інерції прийняли вид умов рівноваги сил прекладених до точок системи (3)

Вказана зміна форми запису основних рівнянь динаміки системи складає зміст так званого принципу Даламбера. Матиматичне вираження виразу даламбера в декартових координатах отримаємо при проектуванні векторних рівнянь(3) на осі координат: (4)

Значення принципу даламбера полягає в тому, що він відкриває можливість застосування до розв’язання динамічних задач, специфічних методів аналітичної статики і в багатьох ситуаціях істотно спрощують розв’язання цих задач, де потребують визначеннгя сили реакції зв’язків прирусі системи. Принцип даламбера може бути об’єднаний з принципом віртуальних переміщень, для чого достатньо помножити векторні рівняння (1) на векторі віртуальних переміщень точок системи і результати просумувати. Якщо розглядати випадок ідеальних зв’язків, то можна не виписувати віртуальну роботу сил реакцій рівну 0. Тоді отримаємо (5)

Це рівняння називають загальним рівнянням механіки.

В декартових координатах загальні рівняння механіки мають наступний вид

(6)

В словесному формулюванні загальне рівнянн механіки зводиться до твердження: - в будь який момент часу рух механічної сиситеми алгебраічної суми віртуальних робіт заданих сил і даламберивих сил інерції рівна 0. загальне рівняння механіки і його словесне формулювання виражають об’єднаний принцип Даламбера – Лагранжа – загальний варіаційний принцип. Рівняння Лагранжа Варіації загальних координат – довільні і незалежні величини, і рівність нулю написаної суми можливо тільки при перетворенні в нуль співмножників при варіаціях узагальнених координат. Прирівнювання їх до нуля приводять нас до шуканих диференціальних рівнянь руху системи в загальних координатах – рівнянням Лагранжа:

(7)

Для складання диференціальних рівнянь руху конкретної механічної системи за допомогою рівняння (7) необхідно мати вираження кінетичної енергії у вибраних координатах і значення узагальнених сил. Тоді складання дифференціальних рівнянь зводиться до виконання операцій диференціювання, вказаних в загальній формі рівняння (7).