О<х;< А™.

При введении в план дополнительной небазисной переменной х_} (остаточной или избыточной) имеют смысл как положитель­ные, так и отрицательные ее значения. Поэтому при прохожде­нии по у'-му столбцу коэффициентов замещения и определении

величин х™^ах' по формуле (16.7) следует использовать как поло­жительные, так и отрицательные значения коэффициентов Ау (не учитываются только значения Ау=0). После определения

всех значений х^^{: аХ/}, /= \,..., т. находим среди них наименьшее по­ложительное значение Д^_п и наименьшее по модулю отрицатель­ное значение В^-_т. Тем самым будет определен допустимый ин­тервал значений вводимой в базис дополнительной переменной х/.

ГГ < х < П⁺

Рассмотрим теперь конкретные примеры. Введение в оптимальный план основной переменной.

Предположим, что в решенной ранее задаче (см. табл. 109) необходимо учесть следующее дополнительное условие: в связи с расширением в регионе предприятий сахарной промышленности и хозяйстве необходимо отвести 25 га пашни под сахарную свек-пу, то есть принять х₇ = 25.

Сначала нужно найти пределы допустимых значений х₇ при пводе этой переменной в оптимальный план. Для этого делим шачения базисных переменных из последней симплекс-табли­цы на соответствующие положительные коэффициенты замеще­ния из столбца, соответствующего переменной х₇. В данном случае (см. табл. 109) получим (числа округлены): 75/2, 54 = 29, 5; (.686/165 = 40, 5; 137, 5/1, 62 = 84, 9; 120/0, 82 = 146, 3. Наименьшим мастным («узким» местом) будет значение 29, 5. Следовательно, иданные в исходной постановке задачи ограничения не будут нарушены, если площадь пашни под сахарной свеклой будет на­ходиться в пределах

0< х₇< 29, 5га. (16.8)

Значение х₇ = 25 находится в этих пределах, следовательно, фебуемая корректировка оптимального плана из таблицы 109 допустима.

Далее рассчитывают новые значения целевой функции и ба-шсных переменных, используя соотношения (16.1) и (16.2). При ном удобно использовать специальную таблицу (табл. 110).

Полученные результаты подтверждают вывод о том, что вся­кое изменение оптимального плана за счет введения основной псбазисной переменной (за исключением случая альтернативных

НО. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении основной переменной д: ₇ = 25

оптимальных решений) приводит к ухудшению плана. В данном случае:

на 20, 5 га увеличилась площадь пашни под зерновыми товар­ными культурами (*!);

на 64 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х₅);

на 40, 5 га уменьшилась площадь пашни под культурами, иду­щими на сочные корма (х₃);

на 20, 5 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми фу­ражными культурами (х₂);

на 15, 5 га увеличилась площадь неиспользованной пашни (*ю);

на 4125 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х₁₄);

на 210000 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (7).

При этом площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄), поголовье коров (хб) и денежно-материальные затраты хо­зяйства (х₈) остались прежними.

Для корректной интерпретации полученного результата необ­ходимо учитывать следующее:

полученный скорректированный план (см. табл. НО) можно рассматривать как оптимальное решение новой задачи с ограни чением х₇ = 25, дополняющим исходную систему ограничений (14.7). Основная особенность рассмотренного способа получения этого решения заключается в использовании уже имеющегося решения (см. табл. 109);

в принципе допустимо задать требование, нарушающее внош. полученное ограничение на вводимую переменную х₇, например положить х₇ = 100 га. Однако в этом случае для получения нового

оптимального плана нельзя будет воспользоваться уже имею­щимся решением (см. табл. 109), а необходимо будет решить но­вую задачу, дополнив систему ограничений (14.7) одиннадцатым ограничением х₇ = 100 и применяя процедуру симплекс-метода с самого начала.

Эти замечания относятся к введению в оптимальный план пе­ременных любых типов.

Введение в оптимальный план остаточной переменной.

В хозяйстве имеется возможность увеличить денежно-матери­альные ресурсы на 20 000 руб. Необходимо выяснить последствия и ведения в план остаточной переменной х₁₃ = -20 000 (напом­ним, что выбор знака «—» связан с экономической интерпрета­цией остаточных переменных — см. пояснение к формуле (16.4).

Здесь также сначала нужно установить пределы введения пере­менной в оптимальный план; при этом учтем, что для х_и допусти­мы как положительные, так и отрицательные значения. Разделим значения базисных переменных последней симплекс-таблицы на все ненулевые коэффициенты замещения из столбца, соответству­ющего х₁₃. Получим 42, 5/(-0, 0002) = -212 500; 180/(—0, 0001) = ■ = -1 800 000; 75/0, 0004 = 187 500; 6686/(-0, 034) = -196 647; 800 000/1 = 800 000; 137, 5/0, 0002 = 687 500; 120/0, 0001 = 1200 000.

Сравнивая полученные частные, выберем наименьшие по мо­дулю положительные и отрицательные значения (Д^_1п и В^-_т со­ответственно). Дополнительно необходимо проверить, не превы­шает ли значение Д^_1п заданного ресурса в исходном ограниче­нии, соответствующем остаточной переменной х_и, и если пре­вышает, то приравняем значение В^_т к величине этого ресурса. Такое действие необходимо, чтобы предотвратить появление от­рицательных значений реально расходуемого ресурса [см. фор­мулу (16.4)]. Ограничения задачи не будут нарушены, если значе­ния дополнительной переменной х₁₃, характеризующие измене­ния денежно-материальных ресурсов хозяйства, будут находить­ся в пределах

Д_т1п< х₁₃< А^_п. (16.9)

Если среди коэффициентов замещения нет отрицательных, переменная х₁₃ может принимать сколь угодно большие по моду­лю отрицательные значения.

Для рассматриваемой задачи ограничение (16.9) примет вид

-196 647< х₁₃< 187 599 (руб.).

Требуемое значение х₁₃ находится в этих пределах, следова­тельно, корректировка плана из таблицы 109 допустима. Рассчи-

таем теперь новые значения целевой функции и базисных пере­менных (табл. 111).

111. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении остаточной переменной дг_и = —20 000

Базисные переменные

Значение базис­ной переменной в оптимальном плане

Коэффициенты замещения по

небазисной переменной х_п

Произведения

коэффициентов

замещения на

вводимую переменную

Новый план

при х, з = -20 000

Таким образом, введение в план дополнительно 20 000 руб. де­нежно-материальных ресурсов привело к следующим изменени­ям:

на 2 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми товарны­ми культурами {х{);

на 8 гол. увеличилось поголовье свиноматок (х₅);

на 4 га увеличилась площадь пашни под культурами, идущими на сочные корма (х₃);

на 2 га увеличилась площадь пашни под зерновыми фуражны ми культурами (х₂);

на 4 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (хю);

на 680 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х₁₄);

на 7400 руб. увеличился чистый доход хозяйства (2).

Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄) и пою ловье коров (х₆) при этом не изменились. Увеличение денежно материальных ресурсов хозяйства позволило расширить кормо вую базу и соответственно увеличить поголовье свиноматок.

Введение в оптимальный план избыточной переменной.

Предположим, что план производства молока в хозяйстве был увеличен с 3000 до 4000 ц. Необходимо выяснить возможность введения в план избыточной переменной х₉ = 1000 (напомним, что выбор знака «+» связан с экономической интерпретацией и I быточных переменных — см. пояснение к формуле 16.6).

Порядок действий здесь тот же, что и для случая остаточной переменной, но при анализе результатов необходимо учесть р; п

личия в интерпретации знаков остаточных и избыточных пере­менных.

После определения частных от деления значений базисных переменных на ненулевые коэффициенты замещения из столб­ца, соответствующего переменной х₉, получим следующее огра­ничение:

-2892 < х₉< +2586 (ц). (16.10)

Требуемое значение х₉ находится в этих пределах, следователь­но, корректировка плана допустима. Расчет новых значений целе­вой функции и базисных переменных приведен в таблице 112.

112. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении избыточной переменной х₉ = +1000

функция

Увеличение плана производства молока на 1000 ц привело к следующим изменениям:

на 23 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми товар­ными культурами (*]);

на 29 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х₅);

на 33 гол. увеличилось поголовье коров (х₆);

на 15 га увеличилась площадь пашни под культурами, идущи­ми на сочные корма (х₃);

на 23 га увеличилась площадь пашни под зерновыми фураж­ными культурами (х₂);

на 15 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (х₁₀);

на 1210 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х_и);

на 33 100 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (2).

Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄) и де­нежно-материальные затраты хозяйства (х₈) не изменились.

Таким образом, увеличение планового задания в относитель-

но невыгодной отрасли (молочном животноводстве) привело к сокращению двух эффективных отраслей (производства товарно­го зерна и свиноводства), что снизило чистый доход хозяйства. Использование трудовых ресурсов и пашни при этом возросло.

16.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Как отмечалось в п. 14.8, оптимальные симплекс-таблицы прямой и двойственной к ней задач линейного программирова­ния обладают свойством полноты. Симплекс-таблица, соответ­ствующая прямой задаче, содержит всю информацию о решении двойственной задачи и наоборот, в связи с чем это последнее, как правило, самостоятельного интереса не представляет¹. Очень важно, однако, что сопоставление структур прямой и двойствен­ной задач позволяет дать содержательную экономическую интер­претацию элементов индексной строки прямой задачи, соответ­ствующих дополнительным переменным. Покажем это на конк­ретном примере.

Задача 16.1. Необходимо найти оптимальное сочетание пло­щадей многолетних трав, томатов и зеленого горошка в бригаде с площадью пашни 1000 га при наличии 10 000 т органических удобрений и 5000 чел.-дн. трудовых ресурсов. По условиям орга­низации кормопроизводства в хозяйстве в целом за счет много­летних трав должно быть получено не менее 24 000 ц зеленого корма. Другие исходные данные приведены в таблице 113.