Средние значения коэффициентов урожайности культур в зависимости

от предшественников*

Культуры

* Методические рекомендации по проектированию севооборотов в колхозах и совхозах Нечерноземной зоны РСФСР/Под ред. К. И. Саранина, С. Н. Волкова, Н. Н. Кочергина, — М.: НИИСХ центральных районов Нечерноземной зоны. 1986.-С. 126.

" Прочерк означает нецелесообразность или недопустимость посева по соот­ветствующему предшественнику.

Расчет по приведенной выше формуле дает:

У, = 1, 875 ■ 80 • 0, 87 = 130, 5 ц с 1 га; У₂= 1, 875- 100-1, 0= 187, 5 ц с 1га.

Таким образом, на втором участке урожайность картофеля бу­дет выше на 57 ц с 1 га.

Методика вычисления значений 3, у в зависимости от произво­дительных и территориальных свойств земли изучается в курсе «Экономика землеустройства» (Волков С. Н. Экономика земле­устройства. — М.: Колос, 1996. — С. 131 — 133). В том случае, если какую-то культуру по условиям предшественников или другим природным факторам (высокая степень эродированности, ув-мажненности, засоренности) размещать на каком-то участке не­целесообразно, значение С_1} при решении задач на максимум принимается равным нулю.

Следует отметить, что при решении задач данного типа могут применяться и другие критерии оптимальности:

в районах водной эрозии почв — минимум объема смываемой почвы, а в районах ливневой эрозии — максимум проективного покрытия почв растительностью (Волков С. Н. Оптимальное планирование и проектирование использования земельных уго­дий в условиях водной эрозии почв. Дисс. канд. эк. наук. — М., 1«> 77.-С. 172);

при однородном почвенном покрове и сильных различиях в удаленности земельных участков — на минимум прямых затрат па производство продукции;

при хороших территориальных условиях производства и боль­ших различиях в плодородии земель — на максимум стоимости валовой продукции.

В практической деятельности землеустроительных органов при обслуживании сельскохозяйственных предприятий исполь­зуются специальные пакеты прикладных программ, основанные на данной методике; они позволяют автоматизировать все расче­ты.

Распределительным методом линейного программирования могут решаться и другие землеустроительные задачи; некоторые из них будут рассмотрены в следующих главах.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие исходные данные нужны для постановки транспортной задачи?

2. Какие транспортные задачи называются сбалансированными? Запишите ус­ловие сбалансированности в общем виде.

3. Назовите типы ограничений, задаваемых при постановке транспортной зада­чи, и запишите их в общем виде.

4. Что представляет собой целевая функция транспортной задачи? Запишите и общем виде выражение для этой функции.

5. Какие виды требований могут предъявляться к целевой функции? Приведите примеры задач с различными видами требований к целевой функции.

6. Назовите отличительные особенности распределительных (транспортных)
задач.

7. Приведите примеры землеустроительных задач, решаемых с помощью транс портной модели. Перечислите основные виды таких задач.

8. Каков общий вид транспортной таблицы?

9. Что такое решение транспортной задачи? Какие решения называют допусти мыми, оптимальными, базисными?

10. Что называют опорным планом (опорным решением) транспортной задачи?

11. Каковы основные этапы общей схемы решения транспортной задачи?

12. Какие виды проверок следует осуществлять при проверке любого допусти мого решения транспортной задачи?

13. Что такое «проверка решения по строкам и столбцам»?

14. Что такое «проверка решения по числу занятых клеток»?

15. Назовите разновидности методов нахождения опорного решения. Каче­ственно опишите, в чем заключаются их различия.

16. Назовите основные пункты алгоритма метода минимального элемента, мы полняемые на каждом шаге.

17. Чем отличаются методы максимального элемента и минимального элемен та?

18. Назовите основные пункты алгоритма метода аппроксимации, выполняс мые на каждом шаге.

19. Чем различаются алгоритмы метода аппроксимации в случае минимизации и максимизации целевой функции?

20. Нужно ли вычеркивать одновременно и строку, и столбец транспортом таблицы, если на очередном шаге поиска опорного решения новые значения иеко торой величины А₁ и некоторой величины В^ стали равными нулю?

21. По каким правилам строится цикл, используемый для преобразования ре шения, размещенного в транспортной таблице?

22. Что такое оценка испытуемой клетки? Как она связана с циклом?

23. Можно ли для одной и той же испытуемой клетки построить два цикла'¹

24. Определите понятия «потенциалы поставщика» и «потенциалы потребив ля».

25. Какова связь потенциалов с целевой функцией?

I

26. Как оценки свободных клеток связаны с потенциалами?

27. Каким образом, используя оценки свободных клеток, можно проверить данное решение на оптимальность, если целевая функция задачи максимизирует­ся? минимизируется?

28. Дайте качественное описание процедуры последовательного улучшения опорного решения транспортной задачи.

29. Каким образом выбирают испытуемую клетку при построении цикла для улучшения решения транспортной задачи в случае минимизации целевой функ­ции? В случае ее максимизации?

30. В каком порядке помечаются знаками «+» и «—» вершины цикла?

31. Как определяется величина ресурса, перемещаемого по циклу, при измене­нии решения транспортной задачи? Как при таком перемещении меняется запол­нение клеток, в которых находятся вершины цикла?

32. Как изменяется целевая функция после преобразования решения транспор­тной задачи с помощью цикла? Приведите обшую формулу для определения такого изменения.

33. Какие транспортные задачи называют несбалансированными (открытыми)?

34. Каковы основные этапы изменения транспортной таблицы при приведении несбалансированной задачи к сбалансированному виду?

35. Какие численные значения величин С, у, соответствующие фиктивному по­ставщику ресурса или фиктивному потребителю ресурса, задают при приведении задачи к сбалансированному виду?

36. Каким образом при постановке транспортной модели учитывают дополни­тельные ограничения вида х^> №

37. В каком случае при учете ограничения вида хц> О из таблицы должен вы­черкиваться столбец? строка?

38. Каким образом при постановке транспортной модели учитываются допол­нительные ограничения вида Ху= ТР.

39. Что такое блокировка клетки? Когда она осуществляется в случаях миними­зации и максимизации целевой функции? Каков смысл блокировки клетки?

40. Учитываются ли при постановке транспортной задачи ограничения вида \, у< ТР. Если учитываются, то на каком этапе решения задачи?

41. Что такое вырожденные решения транспортной задачи?

42. При каких исходных данных возможно возникновение вырожденных реше­ний?

43. Охарактеризуйте особенности определения опорного решения транспорт­ной задачи в случае его вырожденности.

44. Опишите особенности алгоритма последовательного улучшения решения транспортной задачи при наличии вырожденных решений.

45. Каким образом при формировании окончательного решения учитывается исходная несбалансированность задачи?

46. Каким образом при формировании окончательного решения учитываются ограничения вида х, у>.0? вида ху= ТР. Ху< В?

47. Назовите основные особенности задач закрепления пастбищ за животновод­ческими фермами. Какими могут быть критерии оптимальности в таких задачах?

48. Какие реальные факторы делают актуальной задачу закрепления пастбищ за животноводческими фермами? Приведите примеры.

49. Чем объясняется важность задач по устранению недостатков землепользова­ния хозяйств?

50. Какими могут быть критерии оптимальности в задачах устранения недо-■ тлтков землепользования? Какая исходная информация требуется для их поста-попки?

51. Чем объясняется актуальность задачи дифференцированного размещения культур по участкам пашни различного плодородия?

52. Какие критерии оптимальности могут использоваться при решении задач ипфференцированного размещения культур по участкам различного плодородия?

53. Как можно оценить значение дифференцированного по участкам земли чи-1 I ого дохода?

Глава 16

АНАЛИЗ И КОРРЕКТИРОВКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 16.1. АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОСЛЕДНЕЙ СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦЫ

Решение задачи симплексным методом позволяет получить оптимальный вариант плана, являющийся наилучшим с точки зрения выбранного критерия оптимальности и поставленных ус­ловий задачи. При этом, как известно, оптимальное решение на­ходится в последней симплекс-таблице. В качестве иллюстрации рассмотрим последнюю симплекс-таблицу задачи 14.4, постав­ленной в п. 14.3 (табл. 109). К основным блокам информации, содержащейся в ней, относятся:

собственно оптимальное решение — значения в столбце А® базисных переменных (напомним, что небазисные переменные равны нулю);

оптимальное значение целевой функции, находящееся в ин­дексной строке в том же столбце: 2^_ах = 391 631;

коэффициенты замещения (коэффициенты структурных сдвигов), расположенные в столбцах небазисных переменных;

элементы индексной строки, соответствующие небазисным переменным.

Значения элементов индексной строки называют двойствен­ными оценками, или, точнее, оценками переменных двойствен­ной задачи линейного программирования. Они показывают, как изменяется целевая функция при небольших отклонениях неба­зисных переменных от нуля (напомним, что элементы индекс­ной строки, соответствующие базисным переменным, равны нулю).

Полезной информацией является также указание на соответ­ствие дополнительных переменных и номеров ограничений, «по­родивших» эти переменные (3-й столбец табл. 109).

Учитывая, что различные группы данных характеризуют раз­личные аспекты оптимального решения, целесообразно рассмот­реть их раздельно.

1. Основные переменные, попавшие в базис, характеризуют эф­фективные отрасли хозяйства, которые целесообразно развивать для достижения максимального чистого дохода. К ним относятся:

площадь пашни под зерновыми товарными культурами Х| -= 180 га;

площадь пашни под зерновыми фуражными культурами х_г = 120 га;

площадь пашни под культурами на сочные корма х₃ = 137, 5 га,

площадь пашни под культурами на зеленый корм х_А = 20 га;

поголовье свиноматок х₅ = 75 голов;

поголовье коров Х(, = 100 голов.

Последняя симплекс-таблица для задачи 14.4

№ п/п (')

Базисные переменные

С,

Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)

■ (значения

базисных

переменных)

Ап (*т) (осн.)

Л„ (х₉) (изб. в огр. 9)

Коэффициенты замещения

Л-12 (^хп)

(ост. в огр. 3)

Л|5 (*15> (ост. в огр. 6)

Л'16 (*|б)

(ост. в огр. 7)

Индексная строка

(^-9

При этом общие денежные расходы хозяйства составят х₈ = 800 тыс. руб.

2. Основные переменные, не попавшие в базис, характеризуют не­эффективные отрасли хозяйства, которые развивать нецелесооб­разно. В рассматриваемой задаче к ним относится производство сахарной свеклы (х₇ = 0).

3. Экстремальное значение целевой функции показывает макси­мально возможный чистый доход хозяйства, достигаемый при оптимальном сочетании отраслей хозяйства (Д_11ах = 391 631 руб.). Любое другое сочетание отраслей в условиях ограниченности ре­сурсов, в том числе развитие неэффективных отраслей (придание ненулевых значений небазисным переменным), будет приводить к ухудшению оптимального плана.

4. Остаточные переменные, попавшие в базис, характеризуют
недоиспользованные ресурсы, то есть соответствующие им ре­
сурсы являются недефицитными:

недоиспользованная площадь пашни х₁₀ = 42, 5га;

недоиспользованные трудовые ресурсы х₁₄ = 6686 чел.-ч.

Очевидно, что увеличение недефицитных ресурсов не приве­дет к увеличению дохода хозяйства.

Формально по данным последней симплекс-таблицы можно считать недоиспользованными «все корма для свиней» (х₁₇ = = 8300 ц корм. ед. — см. табл. 1 09; см. также табл. 66 и систему канонических ограничений (14.9). Однако остаточная перемен­ная *15, соответствующая общему (шестому) ограничению «по всем кормам для всех животных», равна нулю, что говорит о пол­ном использовании кормов в хозяйстве. Таким образом, значе­ние х₁₇ = 8300 интерпретируется не как недоиспользование кор­мов, а как количество кормов с пашни, используемых для коров.

5. Остаточные переменные, не попавшие в базис (и соответ­
ственно равные нулю), характеризуют полностью исчерпанные,
то есть дефицитные, ресурсы. Всякое увеличение дефицитного
ресурса обеспечивает дополнительное развитие эффективных от­
раслей и увеличение дохода хозяйства. Поскольку в число базис­
ных не вошли остаточные переменные х_1Ь х₁₂, х₁₃, х, ₅, х^, то к
дефицитным ресурсам относятся:

площадь пашни, выделяемой под зерновые культуры;

площадь пашни, выделяемой под культуры на зеленый корм;

денежно-материальные ресурсы хозяйства;

общий запас кормов;

запас концентрированных кормов.

Следует, однако, отметить, что дефицитность кормов является вторичной — она обусловлена дефицитностью денежно-матери­альных ресурсов. Характерно также, что пашня в целом недоис­пользуется — на ней можно было бы произвести еще сочные кор ма, но при наличии дополнительных денежно-материальных средств.

6. Избыточная переменная, не вошедшая в базис (и, стало быть, равная нулю), свидетельствует о точном выполнении (без перевыполнения) заданного в соответствующем ограничении требования по производству продукции. Более того, попада­ние избыточной переменной в число небазисных свидетель­ствует о том, что перевыполнение плана невыгодно с точки зре­ния максимизации целевой функции. Соответствующие пла­новые задания можно назвать критическими — их включение в условия задачи, как правило, сдерживает дальнейшее повыше­ние эффективности хозяйства в целом. Содержательно этот факт будет подробно проанализирован в последующих пунк­тах. В рассмотренной выше задаче такой является переменная х₉, показывающая, что план производства молока точно вы­полняется (см. табл. 109).

На примере простых симплексных задач, содержащих только две основные переменные, можно дать наглядную геометричес­кую интерпретацию дефицитности или недефицитности ресур­сов. Например, на рисунке 17, дающем графическую интерпрета­цию решения задачи 14.5, видно, что поскольку линия уровня, соответствующая максимальному значению целевой функции, касается области допустимых значений в точке Е, дальнейший рост целевой функции (сдвиг линии уровня вправо и вверх) не­возможен именно из-за ограниченности площади пашни (грань ЕР) и трудовых ресурсов (грань БЕ). Если бы, например, удалось увеличить площадь пашни, то грань ЕР сместилась бы вправо и, следовательно, предельная линия уровня вместе с точкой Е так­же сместилась бы вправо. В то же время увеличение, например, числа мест для содержания коров (смещение грани СБ вверх) никак не скажется на положении оптимальной точки Е, что вполне соответствует интерпретации соответствующего ресурса как не дефицитного.

16.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАМЕЩЕНИЯ

Коэффициенты, стоящие в 1-х строках и у'-х столбцах после­дней симплекс-таблицы, называются коэффициентами замеще­ния или коэффициентами структурных сдвигов. Они показывают, как изменяется значение базисной переменной из /-й строки при изменении небазисной переменной на единицу (то есть при вве­дении в оптимальный план небазисной переменной), соответ­ствующей у'-му столбцу. Аналогично элементы индексной строки определяют изменения целевой функции.

Коэффициентами замещения (или структурных сдвигов) их называют прежде всего потому, что с их использованием можно корректировать оптимальное решение по данным последней пшплекс-таблицы, «замещая» значения базисных переменных

небазисными. При этом существенно экономится время на при­ближение оптимального решения к новым экономическим усло­виям, возникающим после решения задачи. Например, для того чтобы иметь в оптимальном плане сахарную свеклу (ху = В, где В—некоторая константа), можно заново решить задачу, введя указанное ограничение в первоначальную систему условий. Это­го же можно добиться, скорректировав последнюю симплекс-таблицу с использованием коэффициентов замещения, введя в план значение х₇ = В.

Математической основой таких действий являются доказыва­емые в теории линейного программирования соотношения:

^х! кГ^хкГ^Ац^хР (16-1)

2'=2_ор[-(2; --Ср_р (16.2)

где X]— вводимое в план значение небазисной переменной; х^, х}₆ — оптимальное и измененное значения базисной переменной; Ац — коэффициент замещения, сто­ящий на пересечении /-й строки иу'-го столбца; 2_ори 2' — оптимальное и изменен­ное значения целевой функции; (2)—С,)— элемент индексной строки, стоящий ву'-м столбце.

Последствия включения в оптимальный план небазисной пе­ременной, ее влияние на значения базисных переменных и целе­вой функции зависят от ее типа, то есть от того, является ли она основной, остаточной или избыточной.

Соотношение (16.2) подтверждает сформулированный выше вывод о том, что развитие неэффективной отрасли, то есть вве­дение в план основной небазисной переменной, всегда будет при­водить к ухудшению (или по крайней мере к неулучшению опти­мального плана). Это прямо связано с тем фактом, что в задачах на максимизацию в последней симплекс-таблице все элементы индексной строки неотрицательны. Направление изменений ба­зисной переменной определяется знаком соответствующего ко­эффициента замещения: положительный знак Ау означает умень­шение базисной переменной, стоящей в /-Й строке, отрицатель­ный — ее увеличение.

Так, например, если хозяйство будет развивать производство сахарной свеклы, то введение в план 1 га посева сахарной свеклы приведет к следующему изменению базисных переменных (см. коэффициенты замещения в столбце А_п):

увеличится площадь пашни под зерновыми товарными куль турами (х_{) на 0, 82 га;

уменьшится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) па 2, 54 гол.;

уменьшится площадь пашни под культурами, идущими пи сочные корма (х₃), на 1, 62 га;

уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными культурами (х₂) на 0, 82 га.

Кроме того:

увеличится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) на 0, 62 га;

уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (х_|4) на 165 чел.-ч;

не изменятся площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄), поголовье коров (х₆), денежно-материальные затраты хозяйства (х₈).

Чистый доход (целевая функция) уменьшится на 8400 руб.

Увеличение дефицитных, то есть исчерпанных полностью, ре­сурсов (например, выявление их резервов или дополнительное привлечение извне) будет способствовать развитию некоторых отраслей и увеличению чистого дохода. Сокращение дефицит­ных ресурсов приведет к противоположному эффекту.

Для того чтобы дать этой закономерности строгую количе­ственную интерпретацию, необходимо учесть особенности вклю­чения остаточных переменных в каноническую постановку зада­чи линейного программирования (см. п. 14.4). Для определенно­сти рассмотрим каноническое ограничение на денежно-матери­альные ресурсы хозяйства [четвертое ограничение из системы (14.9)]:

х₈+х, ₃ = 800 000, (16.3)

где х₈ — денежно-материальные расходы хозяйства, руб.; х_хъ — остаточная перемен­ная, руб.

В правой части этого ограничения указаны денежно-матери­альные ресурсы хозяйства.

Из (16.3) непосредственно следует:

х₈ = 800 000 - х₁₃, (16.4)

откуда видно, что увеличению расхода дефицитного ресурса (х₈) должно соответствовать введение в оптимальный план отрица­тельных значений остаточной переменной (х|₃), а уменьшению — положительных значений.

Количественные изменения базисных переменных и целевой функции при введении в оптимальный план остаточной пере­менной определяют коэффициенты замещения и элемент индек­сной строки, стоящие в столбце вводимой переменной. Из вы­шеизложенного ясно, что при введении в план отрицательного шачения небазисной остаточной переменной (то есть при увели­чении расхода дефицитного ресурса) положительный знак коэф­фициента замещения Ау означает соответствующее увеличение шачения базисной переменной, стоящей в /-Й строке, а отрица­тельный знак — уменьшение. Значение целевой функции при ном должно возрасти. При введении в план положительного

значения небазисной остаточной переменной направления ука­занных изменений становятся противоположными. Так, напри­мер, на каждый рубль дополнительно привлекаемых денежно-материальных ресурсов (то есть при х₁₃ = —1) хозяйство получит дополнительно 37 коп. чистой прибыли. Характеристики эффек­тивных отраслей изменятся следующим образом (см. коэффици­енты замещения в столбце Л_ш последней симплекс-таблицы):

уменьшится площадь пашни под зерновыми товарными куль­турами (ху) на 0, 0001 га;

увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) на 0, 0004 гол.;

увеличится площадь пашни под культурами, идущими на соч­ные корма (х₃), на 0, 0002 га;

увеличится площадь пашни под зерновыми фуражными куль­турами (х₂) на 0, 0001 га.

Кроме того:

уменьшится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) ни 0, 0002 га;

уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (х₁₄) ни 0, 034 чел.-ч;

не изменятся площадь пашни под зелеными кормами (х₄) и поголовье коров (хб).

Введение в план небазисной избыточной переменной позволя­ет установить, как меняется оптимальное решение при измене­нии соответствующих плановых заданий. Для примера рассмот­рим ограничение, задающее план производства молока [девятое ограничение из системы (14.9)]:

30х₆-х₉ = 3000, (16.5)

где Х(, — поголовье коров, гол.; х₉ — избыточное производство молока, ц.

Из (16.5) непосредственно следует:

30х₆ = 3000 + х₉, (16.6)

откуда ясно, что увеличению плана производства молока (30х₆) со ответствует введение в оптимальный план положительных значе ний избыточной переменной (х₉), а уменьшению — отрицательных ее значений.

По общему правилу введение в план положительного значе­ния небазисной избыточной переменной при положительном знаке коэффициента замещения Ау приведет к соответствующе­му уменьшению значения базисной переменной, стоящей в /-Й строке, а при отрицательном — к ее увеличению. Значение целе­вой функции при этом должно уменьшиться. При введении и план отрицательного значения небазисной избыточной перемен ■ ной изменения будут противоположными.

Так, например, при снижении плана по молоку на 1 ц (то есть при х₉-— 1) хозяйство получит дополнительно 33, 1 руб. чистой прибыли. Характеристики эффективных отраслей изменятся сле­дующим образом (см. значения коэффициентов замещения в столбце Л/9 последней симплекс-таблицы):

увеличится площадь пашни под зерновыми товарными куль-гурами (х\) на 0, 023 га;

увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) на 0, 029 гол.;

уменьшится среднегодовое поголовье коров (х^) на 0, 033 гол.;

уменьшится площадь пашни под культурами, идущими на сочные корма (х₃), на 0, 015 га;

уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными культурами (х₂) на 0, 023 га.

Кроме того:

увеличится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) на 0, 015 га;

увеличатся неиспользованные трудовые ресурсы (х₁₄) на 1, 21 чел.-ч;

площадь пашни под культурами на зеленый корм (хО и денеж­но-материальные затраты хозяйства (х₈) не изменятся.

Заметим, что снижение планового задания в относительно не-выгодной при имеющихся условиях отрасли (в молочном живот­новодстве) позволяет расширить две эффективные отрасли (про­изводство товарного зерна и свиноводство). При этом часть тру­довых ресурсов и пашни высвобождается.

16.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАМЕЩЕНИЯ

ДЛЯ ВАРИАНТНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Коэффициенты замещения в последней симплекс-таблице могут использоваться для отыскания новых решений, близких по шачению целевой функции к оптимальному и не нарушающих исходные ограничения задачи. При этом в определенных преде­лах изменения в оптимальный план могут вноситься без пересче­та всего плана. Такая корректировка основана на фундаменталь­ном свойстве решений симплексных задач —они сохраняют сною структуру (список базисных переменных), а также значения коэффициентов замещения и элементов индексной строки при незначительных изменениях небазисных переменных. В процес­се корректировки меняются только значения базисных перемен­ных и целевой функции.

Корректировка оптимального плана может быть оправдана, сени:

возникает необходимость развития отрасли, не вошедшей в базисное решение;

появляются дополнительные источники дефицитных ресурсов в хозяйстве или, наоборот, реальная ресурсная база по сравне­нию с предварительно прогнозируемой сужается;

увеличиваются или уменьшаются плановые задания по произ­водству той или иной продукции.

Методической основой алгоритмов корректировки остаются, рассмотренные выше соотношения (16.1) и (16.2). Речь всегда идет о введении в оптимальный план той или иной небазисной переменной. При этом для основной небазисной переменной, естественно, допустимы только положительные значения, тогда как для дополнительной (остаточной или избыточной) реальный экономический смысл имеют как положительные, так и отрица­тельные значения.

Соотношение (16.1) определяет также основное ограничение на допустимые пределы корректировки оптимального плана. А именно, поскольку ввод в план любой небазисной переменной сопровождается изменениями базисных, причем некоторые из них уменьшаются, предельно допустимое изменение плана зада­ется требованием неотрицательности уменьшающихся базисных переменных. Сформулируем это утверждение в виде конкретных правил.

Сначала рассмотрим случай введения в план основной небазис­ной переменной x^. Пусть некоторой базисной переменной х, _г> соответствует положительный коэффициент замещения. В этом случае согласно (16.1) при введении в план х_] базисная перемен­ная будет уменьшаться. Полагая новое значение х'. равным

нулю (то есть предельно допустимому значению), из (16.1) полу­чим наибольшее допустимое значение вводимой в базис основ­ной переменной х/.

х)" ^ах'=ху4- (¹⁶-⁷)

Напомним, что в соответствии с правилами формирования симплекс-таблиц между индексами у_б и / имеется однозначное соответствие.

Проходя по у'-му столбцу, перебирая в нем все коэффициенты

замещения Ду> 0 и выбирая среди х^^ах', /= \,..., т, наименьшее

значение Б_тт, определяем допустимый интервал значений вво­димой в базис основной переменной х/.